Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETO NEIRA e a média harmônica....

Em 10/08/07, Ojesed Mirror <ojesed@uol.com.br > escreveu:

Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável.

Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível.

Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção.

O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa.

Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação.

Sds, Ojesed

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From: Carlos Eddy Esaguy Nehab

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM

Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....

Oi, Ojesed ,

At 02:04 10/8/2007, you wrote:

Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a "média harmônica ponderada", com as massas sendo os ponderadores ?

Sim, vale... Veja:

A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja:

É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2)
que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ]

Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2).

Abraços,
Nehab

----- Original Message -----

From: Carlos Eddy Esaguy Nehab

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM

Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA

Oi, Arkon, Ponce e Desejo...

Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui...

Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal.

Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a "média" é o quociente entre duas "variáveis" e.... vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = "voltagem"/ corrente ...   Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou "voltagens" sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = "mesma voltagem" / corrente total

Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...)

"Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média?"

Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável "chave", que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ...

Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica.

Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2)       (A)

Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2

Levando estas expressoes em (A) voce obtem

dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2)   que é a média harmônica...

Abraços,

Nehab

At 22:39 8/8/2007, you wrote:

A densidade total é a média harmônica das densidades parciais.

----- Original Message -----
From: arkon
To: obm-l
Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM
Subject: [obm-l] BETONEIRA