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Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....

Oi, Ojesed ,

At 02:04 10/8/2007, you wrote:
Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a "média harmônica ponderada", com as massas sendo os ponderadores ?

Sim, vale...  Veja:

A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2.  Ou seja:

É o inverso de  [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ]  /  (m1 + m2)  
que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ]

Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total  (m1/d1 + m2/d2).

Abraços,
Nehab

----- Original Message -----
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM
Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA

Oi, Arkon, Ponce e Desejo...

Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui...

Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. 

Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a "média" é o quociente entre duas "variáveis"  e.... vejamos:  Velocidade é distância / tempo...  Densidade é massa / volume, resistência = "voltagem"/ corrente ...   Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou "voltagens" sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade  final = massa total / volume total... e resistencia = "mesma voltagem" / corrente total

Vejamos um exemplinho  clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...)

"Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h.  Qual sua velocidade média?"

Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável "chave", que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ...

Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica.

Veja: vm =  distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2)       (A)

Ocorre que t1 =  d1 /v1  e  t2 = d2/v2

Levando estas expressoes em (A)  voce obtem
dist total / tempo total = (x + x) /  [x/v1 + x/v2]  =  2v1.v2  (v1+v2)   que é a média harmônica... 

Abraços,
Nehab


At 22:39 8/8/2007, you wrote:
A densidade total é a média harmônica das densidades parciais.
----- Original Message -----
From: arkon
To: obm-l
Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM
Subject: [obm-l] BETONEIRA
Alguém pode resolver esta, por favor:

 
Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista.

 
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
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Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06

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