Re: [obm-l] RES: [obm-l] Conver gência/divergência de uma serie

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi Arthur.
   Eu confesso que não conferi as contas ...
   Bem, dado o que o Márcio falou abaixo acho que o esquema para provar
a divergência é aplicar aquele o teste da comparação que diz que
se lim (n-> oo) a_n/b_n  = oo   e b_n diverge então a_n diverge com
a_n = 2^(1/n) - 1.  Falta só achar a_n.

Marcio Cohen wrote:

> Oi Arthur,
>
> Na verdade, "(1+1/n^(4/3))^(n^(4/3)) -> e" nao eh o mesmo que
> "(1+1/n^(4/3))^n -> e^(3/4)" pq o expoente 4/3 esta soh no n e nao no
> (1+1/n^(4/3))^n..
>
> Acho inclusive que essa série diverge, pois como 2^x > 1+x*ln2 para x>0, temos
>    Soma ( 2^(1/n) - 1) > ln2*Soma (1/n) ...
>
> Abraços,
> Marcio
>
> On 4/19/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> >
> >
> > Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal.
> >
> > Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que  lim (1 +
> > 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que
> > .
> > lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4).
> >
> > Temos que e^(3/4) > (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) > 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 >
> > 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que
> >
> > (1 + 1/n^(4/3))^n > 2
> >
> > Tomando a raiz enésima, vem
> >
> > 1 + 1/n^(4/3) > 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1.
> >
> > Para n suficientemente grande, temos portanto que
> >
> > 0 < 2^(1/n) - 1 < 1/n^(4/3)
> >
> > Como 4/3 >1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos
> > entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge,
> >
> > Abracos
> >
> > Artur
> >
> >
> > .
> >
> > -----Mensagem original-----
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
> > ralonso
> > Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie
> >
> >
> >    A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero,
> > assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero.
> >   Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição suficiente para
> > convergência.  Precisamos de um critério, como o da comparação.
> >    Eu tentaria, de imediato, algo do tipo:
> >                     Pegaria uma série que eu sei que converge tal como
> > a_n =   1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação com a série
> > geométrica,   e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia
> > o limite a_n/b_n quando n -> infinito.  Foi isso que você fez?
> >
> > Ronaldo.
> >
> > Artur Costa Steiner wrote:
> >  Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma
> > (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur
> >
> >
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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