Então a verdade então vc não deixou de aplicar
um teste de
comparação, apenas fez uma comparação,
como você mesmo disse "artesanal" :).
O maior problema, no meu ponto de vista, é sacar a primeira
vista
com o que comparar, ou que métodos usar para comparar.
No final das contas, você chegou
'a conclusão que
1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1 e em
sua solução comparou o termo
geral da série dada com o termo geral
da série 1/n^a que sabemos convergir para a>1.
O mais interessante de tudo é que você
não usou nenhum teorema de séries
de antemão. Vc começou tuda a solução
com matemática elementar !
Isso é fantástico!
Abraços.
Ronaldo.
Artur Costa Steiner wrote:
Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal.Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que lim (1 + 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que.
lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4).Temos que e^(3/4) > (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) > 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 > 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que
(1 + 1/n^(4/3))^n > 2
Tomando a raiz enésima, vem
1 + 1/n^(4/3) > 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1. Para n suficientemente grande, temos portanto que0 < 2^(1/n) - 1 < 1/n^(4/3) Como 4/3 >1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge,AbracosArtur .-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de ralonso
Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie
A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero,
assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero.
Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição suficiente para
convergência. Precisamos de um critério, como o da comparação.
Eu tentaria, de imediato, algo do tipo:
Pegaria uma série que eu sei que converge tal como
a_n = 1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação com a série
geométrica, e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia
o limite a_n/b_n quando n -> infinito. Foi isso que você fez?Ronaldo.
Artur Costa Steiner wrote:
Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur