Re: [obm-l] RES: [obm-l] Conver gência/divergência de uma serie

["Marcio Cohen" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Arthur,

Na verdade, "(1+1/n^(4/3))^(n^(4/3)) -> e" nao eh o mesmo que
"(1+1/n^(4/3))^n -> e^(3/4)" pq o expoente 4/3 esta soh no n e nao no
(1+1/n^(4/3))^n..

Acho inclusive que essa série diverge, pois como 2^x > 1+x*ln2 para x>0, temos
   Soma ( 2^(1/n) - 1) > ln2*Soma (1/n) ...

Abraços,
Marcio



On 4/19/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
>
>
> Eu encontrei uma solucao um tanto artesanal.
>
> Partimos de lim (1 + 1/n)^n = e. Assim, temos tambem que  lim (1 +
> 1/n^(4/3))^(n^(4/3)) = e, o que eh o mesmo que dizer que
> .
> lim (1 + 1/n^(4/3))^n = e^(3/4).
>
> Temos que e^(3/4) > (2,5)^(3/4) = (1 + 1,5)^(3/4) > 1 + 1,5 * 3/4 = 2,125 >
> 2 . Assim, para n suficientemente grande temos que
>
> (1 + 1/n^(4/3))^n > 2
>
> Tomando a raiz enésima, vem
>
> 1 + 1/n^(4/3) > 2^(1/n) e, portanto, 1/n^(4/3) > 2^(1/n) - 1.
>
> Para n suficientemente grande, temos portanto que
>
> 0 < 2^(1/n) - 1 < 1/n^(4/3)
>
> Como 4/3 >1, a serie Soma 1/n^(4/3) converge. Por comparacao, concluimos
> entao que Soma ( 2^(1/n) - 1) converge,
>
> Abracos
>
> Artur
>
>
> .
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
> ralonso
> Enviada em: quinta-feira, 19 de abril de 2007 12:50
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma serie
>
>
>    A série começa com 2 e os termos vão diminuindo até zero,
> assim dá para suspeitar que converge porque o termo geral tende a zero.
>   Mas o termo geral tender a zero, não é uma condição suficiente para
> convergência.  Precisamos de um critério, como o da comparação.
>    Eu tentaria, de imediato, algo do tipo:
>                     Pegaria uma série que eu sei que converge tal como
> a_n =   1/(2^n-1), cuja conclusão se tira pela comparação com a série
> geométrica,   e b_n = 2^(1/n) - 1 e calcularia
> o limite a_n/b_n quando n -> infinito.  Foi isso que você fez?
>
> Ronaldo.
>
> Artur Costa Steiner wrote:
>  Achei a analise da convergencia/divergencia desta serie interessante:Soma
> (n =1, oo) (2^(1/n) - 1)Conclui que converge.AbracosArtur
>
>
>
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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