Re: [obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

O teorema que eu usei eh uma generalizacao do resultado que diz que as bissetrizes internas de um triangulo sao concorrentes.
O enunciado eh o seguinte:
Num triangulo ABC, tome pontos A' e A'' em BC, B' e B'' em AC, C' e C'' em AB, de modo que:
CBB' = ABB'' e ACC' = BCC'' (igualdades de angulos).
Sejam: P = BB' inter CC'  e  Q = BB'' inter CC''.
Entao, AA' contem P e AA'' contem Q  se e somente se  BAA' = CAA''.
Quando A' = A'', B' = B'' e C' = C'', obtemos o resultado sobre a bissetrizes internas (nesse caso, P = Q = incentro de ABC).

Proponho aqui o problema de demonstrar esse teorema.

Outro problema legal eh provar que o circuncentro e o ortocentro de um triangulo qualquer sao conjugados isogonais.

Bem, este teorema é decorrência direta de Ceva Trigonométrico (ou Ceva dos Senos)

Se ABC  é um triangulo
X esta em BC
Y esta em CA
Z esta em AB

entao sen(ABX)/sen(XBC) * sen(BCY)/sen(YCA) * sen(CAZ)/sen(ZAB) = 1

E a segunda par te e imediata.