[obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Esse eh o problema do bilhar eliptico (que eu nao teria resolvido sem a dica das isogonais no site do majorando).

Dado o triangulo ABC, inscrito numa elipse, temos que provar que se as bissetrizes internas de B e C sao normais a elipse, entao 
a bissetriz interna de A tambem serah normal a elipse.

Sejam F e F' os focos da elipse e I o incentro de ABC ==>
AI, BI e CI sao bissetrizes de CAB, ABC e BCA, respectivamente.

Pela propriedade de reflexao na elipse, temos:
BI e CI sao bissetrizes internas dos angulos FBF' e FCF', respectivamente.

Logo, FBA = F'BC e FCB = F'CA ==> 
F e F' sao conjugados isogonais em relacao ao triangulo ABC ==>
BAF = CAF'.

Como AI e bissetriz de BAC, concluimos que AI eh bissetriz de FAF' ==>
AI eh normal a elipse.

***

Observacao apos o fato: ABC eh o triangulo ortico relativo ao triangulo formado pelas tangentes a elipse em A, B e C.

***

O teorema que eu usei eh uma generalizacao do resultado que diz que as bissetrizes internas de um triangulo sao concorrentes.
O enunciado eh o seguinte:
Num triangulo ABC, tome pontos A' e A'' em BC, B' e B'' em AC, C' e C'' em AB, de modo que:
CBB' = ABB'' e ACC' = BCC'' (igualdades de angulos).
Sejam: P = BB' inter CC'  e  Q = BB'' inter CC''.
Entao, AA' contem P e AA'' contem Q  se e somente se  BAA' = CAA''.
Quando A' = A'', B' = B'' e C' = C'', obtemos o resultado sobre a bissetrizes internas (nesse caso, P = Q = incentro de ABC).

Proponho aqui o problema de demonstrar esse teorema.

Outro problema legal eh provar que o circuncentro e o ortocentro de um triangulo qualquer sao conjugados isogonais.
 

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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