[obm-l] Questao 4 da OBM-U 2006

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Como p é irredutível e tem grau > 1, r e s (=1/r) são irracionais e, além disso, p(x) é o polinômio mínimo de r, ou seja, é o polinômio de menor grau em Q[x] que tem r como raíz (p(x) também é o polinômio mínimo de 1/r).

 

Seja p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, com a_n <> 0

Como p é irredutível, a_0 <> 0.

 

Suponhamos que n = grau(p) seja ímpar ==> n = 2m+1, com m em N.

 

r e 1/r são raízes de p(x) ==>

p(r) = a_0 + a_1r + a_2r^2 + ... + a_nr^n = 0   

e

r^n*p(1/r) = a_0r^n + a_1r^(n-1) + a_2r^(n-2) + ... + a_n = 0  

 

Sejam:

f(x) = (p(x) + x^n*p(1/x))/(1+x)

e

g(x) = (p(x) - x^n*p(1/x))/(1-x).

 

Então, f(x) =

(a_0 + a_n)*(1 + x^n)/(1 + x) +

(a_1 + a_(n-1))*(x + x^(n-1))/(1 + x) +

...

(a_m + a_(m+1))*(x^m + x^(m+1))/(1 + x) =

 

(a_0 + a_n)*(1 - x + x^2 - ... + x^(n-1)) +

(a_1 + a_(n-1))*(x - x^2 + x^3 - ... + x^(n-2)) +

...

(a_m + a_(m+1))*x^m.

(repare que podemos escrever f(x) desta forma justamente porque estamos supondo que n é ímpar e, portanto, que existe um número par (n+1) de coeficientes a_k, os quais podem ser agrupados em pares da forma: 

{a_k,a_(n-k)}).

 

Analogamente, obtemos que g(x) =

(a_0 - a_n)*(1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)) +

(a_1 - a_(n-1))*(x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-2)) +

...

(a_m - a_(m+1))*x^m

 

É fácil ver que f(x) e g(x) pertencem a Q[x].

Além disso, não podem ser ambos identicamente nulos pois, se esse fosse o caso, então p(x) = ((1+x)*f(x) + (1-x)*g(x))/2 seria identicamente nulo, o que é impossível.

 

Logo, pelo menos um deles será um polinômio não-nulo de grau <= n-1.

 

No entanto, como f(r) = g(r) = 0, somos forçados a concluir que r é raiz de um polinômio não-nulo de grau <= n-1, o que contradiz o fato de p(x) ser o polinômio mínimo de r.

 

Essa contradição mostra que grau(p) não pode ser ímpar.

 

 

[]s,

Claudio.