Re:[obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Continuação da questão 3 da obm-u:

Se a bola partir de algum outro ponto da elipse na direção de uma reta tangente ao círculo inscrito em ABC, então a nova órbita também será um triângulo?

 

***

 

Problema correlato:

Numa mesa de bilhar elíptica em que ângulo de incidência = ângulo de reflexão, prove que:

1) se a bola parte de qualquer ponto da elipse e passa por um dos focos, então:

a) entre duas rebatidas consecutivas, a bola sempre passará por um dos focos da elipse e alternará focos a cada rebatida;

b) a trajetória da bola converge para o eixo maior da elipse.

 

2) se, entre as duas primeiras rebatidas consecutivas, a bola não intersectar o segmento que liga os focos F e F' da elipse, então a trajetória da bola jamais intersectará este segmento e, além disso, todos os segmentos da trajetória serão tangentes a uma elipse fixa com focos F e F'.

 

3) se, entre as duas primeiras rebatidas consecutivas, a bola intersectar o segmento que liga os focos F e F' da elipse, então cada segmento da trajetória da bola intersectará este segmento e será tangente a uma hipérbole, além disso, todos os segmentos da trajetória serão tangentes a uma hipérbole fixa com focos F e F'.

 

4) No item (3) podemos ter uma órbita de período 3, tal como a situação descrita na questão da obm-u (ou seja, onde a bola fica percorrendo um triângulo fixo)?

 

***

 

E pra não perder a viagem, aqui vai outro bem bonitinho:

Dados o triângulo ABC (qualquer) e uma reta que intersecta AB em D, AC em E e o prolongamento de BC em F, prove que:

|DB| + |DE| = |CB| + |CE| se e somente se |AB| + |AE| = |FB| + |FE|.

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Tue, 21 Nov 2006 12:53:49 -0300

Assunto:

[obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006

> Esse eh o problema do bilhar eliptico (que eu nao teria resolvido sem a dica das isogonais no site do majorando).

>

> Dado o triangulo ABC, inscrito numa elipse, temos que provar que se as bissetrizes internas de B e C sao normais a elipse, entao

> a bissetriz interna de A tambem serah normal a elipse.

>

> Sejam F e F' os focos da elipse e I o incentro de ABC ==>

> AI, BI e CI sao bissetrizes de CAB, ABC e BCA, respectivamente.

>

> Pela propriedade de reflexao na elipse, temos:

> BI e CI sao bissetrizes internas dos angulos FBF' e FCF', respectivamente.

>

> Logo, FBA = F'BC e FCB = F'CA ==>

> F e F' sao conjugados isogonais em relacao ao triangulo ABC ==>

> BAF = CAF'.

>

> Como AI e bissetriz de BAC, concluimos que AI eh bissetriz de FAF' ==>

> AI eh normal a elipse.

>