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Sent: Tuesday, November 21, 2006 7:11
PM
Subject: [obm-l] Questao 4 da OBM-U
2006
Como p � irredut�vel e tem grau > 1, r e s (=1/r) s�o irracionais e,
al�m disso, p(x) � o polin�mio m�nimo de r, ou seja, � o polin�mio de menor
grau em Q[x] que tem r como ra�z (p(x) tamb�m � o polin�mio m�nimo de
1/r).
Seja p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, com a_n <> 0
Como p � irredut�vel, a_0 <> 0.
Suponhamos que n = grau(p) seja �mpar ==> n = 2m+1, com m em N.
r e 1/r s�o ra�zes de p(x) ==>
p(r) = a_0 + a_1r + a_2r^2 + ... + a_nr^n = 0
e
r^n*p(1/r) = a_0r^n + a_1r^(n-1) + a_2r^(n-2) + ... + a_n = 0
Sejam:
f(x) = (p(x) + x^n*p(1/x))/(1+x)
e
g(x) = (p(x) - x^n*p(1/x))/(1-x).
Ent�o, f(x) =
(a_0 + a_n)*(1 + x^n)/(1 + x) +
(a_1 + a_(n-1))*(x + x^(n-1))/(1 + x) +
...
(a_m + a_(m+1))*(x^m + x^(m+1))/(1 + x) =
(a_0 + a_n)*(1 - x + x^2 - ... + x^(n-1)) +
(a_1 + a_(n-1))*(x - x^2 + x^3 - ... + x^(n-2)) +
...
(a_m + a_(m+1))*x^m.
(repare que podemos escrever f(x) desta forma justamente porque estamos
supondo que n � �mpar e, portanto, que existe um n�mero par (n+1) de
coeficientes a_k, os quais podem ser agrupados em pares da
forma:
{a_k,a_(n-k)}).
Analogamente, obtemos que g(x) =
(a_0 - a_n)*(1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)) +
(a_1 - a_(n-1))*(x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-2)) +
...
(a_m - a_(m+1))*x^m
� f�cil ver que f(x) e g(x) pertencem a Q[x].
Al�m disso, n�o podem ser ambos identicamente nulos pois, se esse fosse o
caso, ent�o p(x) = ((1+x)*f(x) + (1-x)*g(x))/2 seria identicamente nulo, o que
� imposs�vel.
Logo, pelo menos um deles ser� um polin�mio n�o-nulo de grau <=
n-1.
No entanto, como f(r) = g(r) = 0, somos for�ados a concluir que r � raiz
de um polin�mio n�o-nulo de grau <= n-1, o que contradiz o fato de p(x) ser
o polin�mio m�nimo de r.
Essa contradi��o mostra que grau(p) n�o pode ser �mpar.
[]s,
Claudio.
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