Sem perda de generalidade, podemos supor que f(0) = 0, pois:Integral(0...1) xdx = (1/2)*Integral(0...1) dx = 1/2, de modo que a desigualdade do enunciado não se altera se substituirmos f(x) por f(x) + c, qualquer que seja c em R.Temos que provar que I = Integral(0...1) (x - 1/2)f(x)dx >= 0.Como f é crescente, para todo x em [1/2,1] temos f(x) > f(1-x). Assim:I = Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(x)dx >Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(1-x)dx.Fazendo a mudança de variáveis y = 1-x <==> x = 1-y, teremos:x - 1/2 = 1/2 - y; f(1-x) = f(y); dx = -dy;x = 1/2 ==> y = 1/2; x = 1 ==> y = 0.Logo,Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(1-x)dx =Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +Integral(1/2...0) (1/2 - y)f(y)(-dy) =Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx +- Integral(0...1/2) (y - 1/2)f(y)dy = 0.Ou seja, I > 0 e, portanto, I >= 0.[]s,Claudio.