Re: [obm-l] Questao 1 da OBM-U 2006

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Esse problema é caso particular de uma desigualdade mais geral, válida para funções integráveis crescentes f, g e a < b reais:
   (Integral(a...b)f(x)g(x)dx)/(b-a) >= (Integral(a...b)f(x)dx)/(b-a)*(Integral(a...b)g(x)dx)/(b-a)

Tentem prová-la, é divertido!

[]'s
Shine

----- Original Message ---- 
From: claudio.buffara <claudio.buffara@terra.com.br> 
To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br> 
Sent: Tuesday, November 21, 2006 7:46:06 PM 
Subject: [obm-l] Questao 1 da OBM-U 2006 


Sem perda de generalidade, podemos supor que f(0) = 0, pois: 
Integral(0...1) xdx = (1/2)*Integral(0...1) dx = 1/2, de modo que a desigualdade do enunciado não se altera se substituirmos f(x) por f(x) + c, qualquer que seja c em R. 

Temos que provar que I = Integral(0...1) (x - 1/2)f(x)dx >= 0. 

Como f é crescente, para todo x em [1/2,1] temos f(x) > f(1-x). Assim: 
I = Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx + 
Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(x)dx > 

Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx + 
Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(1-x)dx. 

Fazendo a mudança de variáveis y = 1-x <==> x = 1-y, teremos: 
x - 1/2 = 1/2 - y; f(1-x) = f(y); dx = -dy; 
x = 1/2 ==> y = 1/2; x = 1 ==> y = 0. 

Logo, 
Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx + 
Integral(1/2...1) (x - 1/2)f(1-x)dx = 

Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx + 
Integral(1/2...0) (1/2 - y)f(y)(-dy) = 

Integral(0...1/2) (x - 1/2)f(x)dx + 
- Integral(0...1/2) (y - 1/2)f(y)dy = 0. 

Ou seja, I > 0 e, portanto, I >= 0. 


[]s, 
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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