Re: [obm-l] Geometria - Triangulo isósceles

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

Depois de ser humilhado por estas retas mágicas cearenses, vou fazer a solucao trigonometrica...

Pelo excesso de matematica deste troço vou escrever isto em LaTeX-like mesmo...

Seja \alpha = \angle BAH = \angle HAC, AB=BC=1

Podemos fazer um arrastão básico e calcular todos os ângulos exceto ACD e MAD.
Vamos calcula-los e ver no que da.
Seja \phi=\angle MAD e \theta=\angle ADC
Precisamos provar que \theta+\phi=\pi/2

Temos AH=cos(\alpha) e HC=HB=sen(\alpha) (triangulos retangulos).
HD=HB cos (\alpha)=sen (\alpha) cos(\alpha)=1/2 sen (2*\alpha)
DB=HB sen (\alpha)=sen^2(\alpha)
AD=1-BD=cos^2(\alpha)
MH=MD=1/4 sen (2*\alpha)

Ate agora nada depende dos angulos desconhecidos acima.

SLS, triangulo MAD:

AD/DM=sen(\pi/2-\phi)/sen(\phi)=cotg(\phi)
4cos^2(\alpha)/sen(2*\alpha)=cotg(\phi)
4cos^2(\alpha)/2sen(\alpha)cos(\alpha)=cotg(\phi)

2cos(\alpha)/sen(\alpha)=cotg(\phi)


Temos entao
cotg(\phi)=2cotg(\alpha)


SLS, triangulo CAD:
AD/AC=sen(2*\alpha+\theta)/sen(\theta)
cos^2(\alpha)=sen(2*\alpha+\theta)/sen(\theta)

cos^2(\alpha)/sen(2*\alpha)=sen(2*\alpha+\theta)/sen(\theta)sen(2*\alpha)


cos^2(\alpha)/sen(2*\alpha)=cotg(2*\alpha)+cotg(\theta)



cotg(\alpha)/2=cotg(2*\alpha)+cotg(\theta)




cotg(\alpha)/2-cotg(2*\alpha)=cotg(\theta)





Para provar que os dois angulos somam \pi/2, basta provar que os produtos das cotangentes valem 1
(abra cos(x+y)=0 e divida por sen(x)sen(y))

Temos
cotg(\phi)=2cotg(\alpha)
cotg(\theta)=cotg(\alpha)/2 - cotg(2*\alpha)








Vamos arranjar uma expressao mais legal pra cotg(2*\alpha)

tg(2*x)=2tg(x)/(1-tg^2(x))
tg(2*x)=2tg(x)/(1-tg^2(x))

2cotg(2*x)=(1-tg^2(x))/tg(x)
2cotg(2*x)=cotg(x)-tg(x)

Assim, podemos continuar:

cotg(\phi)=2cotg(\alpha)

2cotg(\theta)=cotg(\alpha) - 2cotg(2*\alpha)










2cotg(\theta)=cotg(\alpha) - cotg(\alpha)+tg(\alpha)












2cotg(\theta)=tg(\alpha)












Multiplica lado a lado e dá 2=2 ou 0=0 !

Como toda boa solucao trigonométrica, longa, intimidadora, mas fácil.
Se nao entender algo, me manda uma mesg que eu explico!

Bem, eu sempre adoro perguntar nestas horas, com aquele olhar bem estupefato e intimidador, isto: "De onde você tirou esta reta mágica?" Eu até tenho uma resposta, mas não será a mesma que a sua, creio eu...

Em 20/11/06, Edson Ricardo de Andrade Silva <latino@lia.ufc.br> escreveu:

On Mon, 20 Nov 2006, Iuri wrote:

> Num triangulo isósceles ABC, traça-se a altura relativa ao vértice A. Do
> ponto de intersecção H dessa altura com BC, é traçada uma perpendicular ao
> labo AB, sendo D o ponto de intersecção da perpendicular com este lado.
> Sendo M o ponto médio de DH, prove que AM e CD sao perpendiculares.
>
> Alguém tem uma solução boa pra esse problema?
>
> Iuri
>

Essas questoes quase sempre sao liquidadas quando se traça a reta
certa....

Seja N o ponto medio do segmento HC.

Provar que AM e CD sao perpendiculares é equivalente a provar que AM e MN
são perpendiculares, uma vez que CD e MN são paralelos (lembre-se, M e N
são ppntos médios de DH e HC, respectivamente).

Observe os triangulos ADH e AHC. Eles sao semelhantes (por que?). Logo:

1) <DAM = <HAN;
2) AD/AM = AH/AN

<MAN = <MAH + <HAN = (por 1)  = <MAH + <DAM = <DAH ----> 3)

Por 2) e por 3) concluimos que os triangulos ADH e AMN são semelhantes,
logo <AMN = <ADH = 90.

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V