Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Luis:

Acho que um exemplo com n = 3 elucida tudo...
f_0(x) = x^3
f_1(x) = f_0(x+1) - f_0(x) = (x+1)^3 - x^3 = 3x(x+1) + 1
f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x) = 3(x+1)(x+2) + 1 - 3x(x+1) - 1 = 6(x+1)
f_3(x) = f_2(x+1) - f_2(x) = 6(x+2) - 6(x+1) = 6 = 3!

Ou seja, grau(f_i) = n-i ==> se f_2(x) = 2, entao f_1(x) =ax+b e f_0(x) = x^2.
Usando a recorrencia, f_1(x) = (x+1)^2 - x^2 = 2x+1 ==> a = 2, b = 1.

[]s,
Claudio.
 
---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 13 Nov 2006 19:50:56 +0000
Assunto: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.

> Sauda,c~oes,
> 
> Oi Nicolau,
> 
> Estou mesmo confuso.
> 
> Entendo que  f_2 (x) = 2! = 2.
> 
> Pela definição da recorrência,
> 
> f_2 (x) = f_1 (x+1) - f_1 (x) = 1 - 1 = 0.
> 
> Qual o erro que cometo?
> 
> Na solução a base da indução não aparece.
> Como seriam f_1(x) e f_2(x) dados pela
> recorrência?
> 
> []'s
> Luís
> 
> 
> >From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
> >Date: Mon, 13 Nov 2006 16:22:55 -0200
> >
> >On Mon, Nov 13, 2006 at 03:50:00PM +0000, Luís Lopes wrote:
> > > Sauda,c~oes,
> > >
> > > Folheando as Eurekas detive-me neste problema,
> > > lá resolvido por indução.
> > >
> > > Eureka 6 pp.~51--52.
> > >
> > > 26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e
> > > f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde
> > > x, n e i são inteiros positivos. Prove que,
> > > para todo x, f_n (x) = n!
> > >
> > > Transcrevi como está. Não tem algo errado?
> >
> >Acho que está tudo certo. Talvez o que esteja confundindo você
> >é que f_0 depende de n. Ou seja, temos um problema para cada n.
> >
> >[]s, N.
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