Eu consegui provar que:
f_n(x) = Somatorio(i=0 até n) (-1)^(n-i) * Binomial(n, i) * f_0(x+i)
Sendo f_0(x) = x^n, como provar que:
Somatorio(i=0 até n)
(-1)^(n-i) * Binomial(n, i) * (x+i)^n = n! ????
Abraços,
Aldo
claudio.buffara wrote:
Oi, Luis:
Acho que um exemplo com n = 3 elucida tudo...
f_0(x) = x^3
f_1(x) = f_0(x+1) - f_0(x) = (x+1)^3 - x^3 = 3x(x+1) + 1
f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x) = 3(x+1)(x+2) + 1 - 3x(x+1) - 1 = 6(x+1)
f_3(x) = f_2(x+1) - f_2(x) = 6(x+2) - 6(x+1) = 6 = 3!
Ou seja, grau(f_i) = n-i ==> se f_2(x) = 2, entao f_1(x) =ax+b e f_0(x) = x^2.
Usando a recorrencia, f_1(x) = (x+1)^2 - x^2 = 2x+1 ==> a = 2, b = 1.
[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 13 Nov 2006 19:50:56 +0000
Assunto: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau,
Estou mesmo confuso.
Entendo que f_2 (x) = 2! = 2.
Pela definição da recorrência,
f_2 (x) = f_1 (x+1) - f_1 (x) = 1 - 1 = 0.
Qual o erro que cometo?
Na solução a base da indução não aparece.
Como seriam f_1(x) e f_2(x) dados pela
recorrência?
[]'s
Luís
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Eureka 6 pp.~51--52.
Date: Mon, 13 Nov 2006 16:22:55 -0200
On Mon, Nov 13, 2006 at 03:50:00PM +0000, Luís Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Folheando as Eurekas detive-me neste problema,
lá resolvido por indução.
Eureka 6 pp.~51--52.
26) Sejam as funções f_0 (x) = x^n e
f_i (x) = f_{i-1} (x+1) - f_{i-1} (x) onde
x, n e i são inteiros positivos. Prove que,
para todo x, f_n (x) = n!
Transcrevi como está. Não tem algo errado?
Acho que está tudo certo. Talvez o que esteja confundindo você
é que f_0 depende de n. Ou seja, temos um problema para cada n.
[]s, N.
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