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[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
A solucao abaixo esta incompleta.
Reduzindo a fracao continua:
F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x]
achamos que F(x) = (cx + d)/(ex + f), onde c, d, e, f dependem dos a_i e dos b_i.
dado que os a_i e b_i sao todos nao nulos, eh possivel provar que:
(i) c, e nao sao ambos nulos;
(ii) d, f sao impares.
Essas duas condicoes sao suficientes para garantir que:
(1) F eh bem definida em R - A, onde A eh um conjunto finito (*);
(2) F nao eh a identidade.
(*) Dependendo de quao chato voce eh, A pode ser apenas {-f/e} ou A pode consistir de cada valor de x para o qual a reducao de F(x) a
forma (cx+d)/(ex+f) resulta em algum denominador nulo no meio do caminho. O importante, no entanto, eh observar que como a fracao
continua eh finita, A serah finito.
Por exemplo,
Se F(x) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 1/x)) =
2 + 1/(2 + x/(-4x+1)) =
2 + (-4x+1)/(-7x+2) =
(-18x+5)(-7x+2), entao:
A pode ser apenas {2/7} ou entao {0, 1/4, 2/7}.
Repare que se x = 1/4, por exemplo, entao F(x) = 2.
No entanto, no passo a passo, teremos:
F(x) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 1/(1/4))) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 4)) =
2 + 1/(2 + 1/0) (!!!) = 2 + 1/(2 + infinito) (!!!) = 2 + 0 (!!!) = 2.
Enfim, pondo a mao na massa, achamos:
2a_1 + 1/(2b_1 + 1/x) = (4b_1a_1x + 1)/(2b_1x + 1) = (c_1x + d_1)/(e_1x + f_1),
onde:
c_1 = 4b_1a_1; d_1 = 1; e_1 = 2b_1; f_1 = 1.
Em particular, d_1, f_1 sao impares e c_1, e_1 nao sao ambos nulos.
Supondo, agora que d, f sao impares e c, e nao sao ambos nulos, teremos que, dados a, b inteiros nao-nulos:
2a + 1/(2b + (ex + f)/(cx + d)) =
2a + (cx + d)/((2bc + e)x + (2bd + f)) =
((4abc + 2ae + c)x + (4abd + 2af + d))/((2bc + e)x + (2bd + f)) =
(c'x + d')/(e'x + f').
Obviamente, d' e f' sao impares e, portanto, nao-nulos.
e = 0 ==> c <> 0 ==> c' = c(4ab + 1) <> 0; e' = 2bc <> 0
e <> 0 ==>
c' = 0 ==> (4ab+1)c + 2ae = 0 ==> c = -2ae/(4ab+1)
e' = 0 ==> c = -e/2b = -2ae/(4ab)
Assim, c' e e' nao podem ser ambos nulos.
Por inducao, concluimos o mesmo para a expressao de F(x) acima.
Isso completa a solucao abaixo.
[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 13 Nov 2006 19:23:46 -0300
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
> Oi, Márcio:
>
> Tive uma idéia pra esse problema.
>
> Aplicando a matriz A^a B^b ao vetor (x,y)^t, obtemos a imagem:
> ( (4ab +1)x + 2ay , 2bx + y ).
> Assim, se ctg(t) = x/y (supondo y <> 0), teremos que:
> ctg(t') = ((4ab +1)x + 2ay)/(2bx + y) = 2a + 1/(2b + 1/ctg(t))
>
> Logo, se P = Produto(i=1...n) A^a_i B^b_i, então:
> P(x_0,y_0)^t = (x_n,y_n) e ctg(t_0) = x_0/y_0 (y_0 <> 0) ==>
> ctg(t_n) = x_n/y_n =
> [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/ctg(t_0)]
> (fração contínua simples finita de coeficientes inteiros)
>
> Ou seja, ctg(t_n) e uma função contínua de ctg(t_0).
>
> Agora, se dados n em N e a_i, b_i em Z - {0} (1<=i<=n), tivermos P = I, então a função F:R-{0} -> R dada por:
> F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] será igual a identidade, ou seja:
> [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] = x, para todo x em R - {0}.
>
> No entanto, quando x -> +inf e x -> -inf, F(x) tende ao mesmo valor, dado por: [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b(n-1), ..., 2b_2, 2a_1,
2b_1] ==>
> contradição, pois se F(x) = x, deveríamos ter F(x) -> +inf e -inf, respectivamente.
>
> Logo, não pode ser P = I para nenhum n em N, a_i, b_i em Z - {0}.
>
> Você vê algum furo?
>
> []s,
> Claudio.
>
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Para:"obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Cópia:
>
> Data:Sun, 12 Nov 2006 15:06:52 -0200
>
> Assunto:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
>
> Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as soluções da OBM 2006.
> Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3.
> Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com diversos alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos
resolver essa questão.
> Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo fim de semana com os devidos créditos (durante a semana é
difícil de arranjarmos tempo).
> Abraços,
> Marcio Cohen
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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