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Olá,
nao cheguei a olhar sua demonstracao, vou apenas
propor a minha:
se lim a_n != 0, entao: lim a_n / (1 + a_n) = lim 1
/ (1 + 1/a_n) != 0
logo, a serie de a_n/(1+a_n) nao pode
convergir....
se lim a_n = 0, entao, vms usar o teste da
comparacao:
lim a_n / [ a_n / (1 + a_n) ] = lim 1 + a_n =
1
assim, a_n e a_n / (1 + a_n) sao assintoticamente
iguais... isto é,
suas series converge ou divergem juntas... como
Sum(a_n) diverge,
entao Sum(a_n / (1 + a_n)) diverge.
abracos,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, August 29, 2006 11:17
PM
Subject: [obm-l] Convergencia de
serie
Oi, gente.
Vejam
o seguinte probleminha:
Seja a_n uma seqüência de termos positivos tais
que sum (n=1..oo) a_n diverge. Prove que sum (n=1..oo) a_n / (1 + a_n)
diverge.
Eu pensei em demonstrar a contrapositiva, isto é:
Seja
a_n uma seqüência de termos positivos. Prove que se sum(n=1..oo) a_n / (1 +
a_n) converge então sum (n=1..oo) a_n converge.
(todos os limites serão
tomados para n --> oo)
Da hipótese, lim a_n / (1 + a_n) = 0, o que
implica que para todo eps > 0, existe n0 tal que n > n0 ==> a_n / (1
+ a_n) < eps
<==> a_n < eps + a_n * eps <==> a_n(1 -
eps) < eps <==> a_n < eps / (1 - eps). Podemos fazer eps / (1 -
eps) tão pequeno quanto queiramos, bastando para isso tomar um eps
suficientemente pequeno. Então concluimos que lim a_n = 0.
Agora vamos
aplicar o critério da comparação no limite para a série sum a_n, comparando
com sum a_n / (1 + a_n). Temos:
lim a_n / ( a_n / (1 + a_n) ) = lim a_n *
(1 + a_n) / a_n = lim 1 + a_n = 1 (já que lim a_n = 0). Como o limite
calculado é igual a 1, segue que o comportamento da série sum a_n é o mesmo da
série a_n / (1 + a_n). Assim, sum a_n converge.
Provamos então que sum a_n
/ (1 + a_n) convergente ==> sum a_n convergente.
Tomando a
contrapositiva, sum a_n divergente ==> sum a_n / (1 + a_n)
divergente.
Tá certo isso??
Se sim, tem algum jeito mais simples?
Abraço
Bruno
--
Bruno França dos
Reis
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e^(pi*i)+1=0
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