Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geomet ria e aritm�tica super b�sicas

["Paulo Cesar" <pcesar26@xxxxxxxxx>]

 Sejam x e y os n�meros em quest�o, tais que x + y = 96. Como MDC{x,y} = 12, podemos escrever x = 12a e y = 12b, com MDC{a,b } = 1, isto �, a e b s�o primos entre si.

 

da� temos: 12a + 12b = 96 --> a + b = 8.

 

Foi dito no enunciado que o produto entre x e y deve ser m�ximo. Para tal, basta dizer que o produto entre a e b deve ser m�ximo (xy = 144ab).

 

Usaremos agora uma importante desigualdade: M�dia Aritm�tica entre a e b maior ou igual do que a M�dia Geom�trica entre a e b. A igualdade s� � v�lida para a = b.

Fazendo as contas: (a + b)/2 > sqrt(ab) --> 4 > sqrt(ab) --> ab < 16.

Mas no enunciado est� expl�cito que existe um MAIOR n�mero. Logo ab <=15. Como se deseja o produto m�ximo, temos ab = 15. Agora basta resolver o sistema de vari�veis inteiras:

a + b = 8

ab = 15

A solu��o � a = 5 e b = 3 (ou vice-versa).

Os n�meros procurados s�o 12.5 e 12.3, ou seja, 60 e 36.

 

Espero ter ajudado

 

Abra�os

 

PC