Re: [obm-l] Convergencia de serie

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Acho que tambem tinha esse aqui:
Seja (a_n) uma sequencia de termos positivos tal que SOMA(n>=1) a_n diverge.
Prove que se s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n, entao SOMA(n>=1) a_n/s_n ainda diverge.

Por exemplo, se a_n = 1/n, entao s_n <= K + log(n), para alguma constante K > 0.
Logo, SOMA(n>=1) a_n/s_n >= SOMA(n>=1) 1/(n(K + log(n)) e esta ultima serie diverge, pelo teste da integral.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 30 Aug 2006 01:47:23 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Convergencia de serie

> Olá,
> 
> nao cheguei a olhar sua demonstracao, vou apenas propor a minha:
> 
> se lim a_n != 0, entao: lim a_n / (1 + a_n) = lim 1 / (1 + 1/a_n) != 0
> logo, a serie de a_n/(1+a_n) nao pode convergir....
> 
> se lim a_n = 0, entao, vms usar o teste da comparacao: 
> 
> lim a_n / [ a_n / (1 + a_n) ] = lim 1 + a_n = 1
> 
> assim, a_n e a_n / (1 + a_n) sao assintoticamente iguais... isto é,
> suas series converge ou divergem juntas... como Sum(a_n) diverge,
> entao Sum(a_n / (1 + a_n)) diverge.
> 
> abracos,
> Salhab
> 
> 
>   ----- Original Message ----- 
>   From: Bruno França dos Reis 
>   To: OBM 
>   Sent: Tuesday, August 29, 2006 11:17 PM
>   Subject: [obm-l] Convergencia de serie
> 
> 
>   Oi, gente.
> 
>   Vejam o seguinte probleminha:
> 
>   Seja a_n uma seqüência de termos positivos tais que sum (n=1..oo) a_n diverge. Prove que sum (n=1..oo) a_n / (1 + a_n) diverge.
> 
> 
>   Eu pensei em demonstrar a contrapositiva, isto é: 
>   Seja a_n uma seqüência de termos positivos. Prove que se sum(n=1..oo) a_n / (1 + a_n) converge então sum (n=1..oo) a_n 
converge.
>   (todos os limites serão tomados para n --> oo)
>   Da hipótese, lim a_n / (1 + a_n) = 0, o que implica que para todo eps > 0, existe n0 tal que n > n0 ==> a_n / (1 + a_n) < eps 
>   <==> a_n < eps + a_n * eps <==> a_n(1 - eps) < eps <==> a_n < eps / (1 - eps). Podemos fazer eps / (1 - eps) tão pequeno 
quanto queiramos, bastando para isso tomar um eps suficientemente pequeno. Então concluimos que lim a_n = 0. 
>   Agora vamos aplicar o critério da comparação no limite para a série sum a_n, comparando com sum a_n / (1 + a_n). Temos:
>   lim a_n / ( a_n / (1 + a_n) ) = lim a_n * (1 + a_n) / a_n = lim 1 + a_n = 1 (já que lim a_n = 0). Como o limite calculado é igual a 1, 
segue que o comportamento da série sum a_n é o mesmo da série a_n / (1 + a_n). Assim, sum a_n converge. 
>   Provamos então que sum a_n / (1 + a_n) convergente ==> sum a_n convergente.
>   Tomando a contrapositiva, sum a_n divergente ==> sum a_n / (1 + a_n) divergente.
> 
>   Tá certo isso??
>   Se sim, tem algum jeito mais simples? 
> 
>   Abraço
>   Bruno
> 
> 
>   -- 
>   Bruno França dos Reis
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> 
>   e^(pi*i)+1=0 
> 
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