[obm-l] Convergencia de serie

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi, gente.

Vejam o seguinte probleminha:

Seja a_n uma seqüência de termos positivos tais que sum (n=1..oo) a_n diverge. Prove que sum (n=1..oo) a_n / (1 + a_n) diverge.


Eu pensei em demonstrar a contrapositiva, isto é:
Seja a_n uma seqüência de termos positivos. Prove que se sum(n=1..oo) a_n / (1 + a_n) converge então sum (n=1..oo) a_n converge.
(todos os limites serão tomados para n --> oo)
Da hipótese, lim a_n / (1 + a_n) = 0, o que implica que para todo eps > 0, existe n0 tal que n > n0 ==> a_n / (1 + a_n) < eps
<==> a_n < eps + a_n * eps <==> a_n(1 - eps) < eps <==> a_n < eps / (1 - eps). Podemos fazer eps / (1 - eps) tão pequeno quanto queiramos, bastando para isso tomar um eps suficientemente pequeno. Então concluimos que lim a_n = 0.
Agora vamos aplicar o critério da comparação no limite para a série sum a_n, comparando com sum a_n / (1 + a_n). Temos:
lim a_n / ( a_n / (1 + a_n) ) = lim a_n * (1 + a_n) / a_n = lim 1 + a_n = 1 (já que lim a_n = 0). Como o limite calculado é igual a 1, segue que o comportamento da série sum a_n é o mesmo da série a_n / (1 + a_n). Assim, sum a_n converge.
Provamos então que sum a_n / (1 + a_n) convergente ==> sum a_n convergente.
Tomando a contrapositiva, sum a_n divergente ==> sum a_n / (1 + a_n) divergente.

Tá certo isso??
Se sim, tem algum jeito mais simples?

Abraço
Bruno


-- 
Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0