Re: [obm-l] Problemas de Algebra

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, May 13, 2005 at 12:19:12AM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
> >8) De um exemplo de um grupo G, um subgrupo H, e um elemento a de G tais que
> >aHa^(-1) estah propriamente contido em H.
> >
> >Um tal H, se existir, tem que ser necessariamente infinito, alem de
> >nao-abeliano. Eu imagino que deva haver algum grupo de matrizes com esta
> >propriedade, mas nao consegui pensar em nenhum.
> 
>    Esse eu achei mais dificil: acho que podemos tomar um grupo gerado por
> elementos a e x(n), com n inteiro, que so satisfazem as relações
> a.x(n).a^(-1)=x(n+1), e H gerado pelos x(n) com n natural (aHa^(-1) vai ser
> gerado pelos x(n+1) com n natural). Talvez haja exemplos mais simples e
> naturais...  

O exemplo do Gugu é perfeitamente correto. Aqui vai outro,
talvez mais simples ou mais natural, ou talvez não.
Tem a vantagem de ser um grupo de matrizes bem conhecido,
como o Claudio imaginou.

Tome G = SL(2,R), o grupo das matrizes reais 2x2 com determinante igual a 1;
H é cíclico infinito com elementos [[1,n],[0,1]], n inteiro;
a é a matriz diagonal [[2,0],[0,1/2]];
fazendo a conta temos a[[1,n],[0,1]]a^(-1) = [[1,4n],[0,1]]
donde aHa^(-1) é um subgrupo próprio (de índice 4) de H.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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