RE: [obm-l] i^2 = -1 ??

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Bruno,

Ninguem INVENTOU os números complexos : os Matematicos - sobretudo italianos 
- do Renascimento foram os primeiros que foram obrigados a considera-los com 
maior seriedade quando estudaram as equacoes do terceiro grau ... Nestas 
equacoes, quando previamente sabemos que existem tres raizes reais, a 
aplicacao da formula que eles haviam descoberto leva a extracao de raizes 
quadradas de números negativos, isto e, a numeros complexos.

Mas ha referencias anteriores sobre eles.

O Gauss, com justica, gozava de grande prestigio na Europa e a sua tese 
doutoral, o Teorema Fundamental da Algebra, usava com naturalidade estes 
"numeros imaginarios", o que levou os matematicos de entao a aceitarem mais 
tranquilamente estes numeros. Digamos portanto que os Matematicos italianos 
DESCOBRIRAM a necessidade de considerar seriamente estes numeros e Gauss 
consolidou o uso deles.

Como quase tudo em Matematica, as grandes ideias nao surgem de uma 
formalizacao previa ... As pessoas fazem experiencias numericas, 
verificacoes e so posteriormente, em geral, muito posteriormente, surge a 
formalizacao. Os objetos matematicos EXISTEM no mundo proprio deles 
independente de alguem pensar neles ou nao. NENHUM MATEMATICO INVENTA ALGUMA 
COISA,ou, se muito, "se inventa, sao coisas sem importancia" (Penrose) . Ele 
tao somente DESCOBRE.

O contato com esse mundo, claramente, envolve uma alta dose de 
subjetividade, pois cada um pensa ao seu modo, mas, em geral, envolve muitas 
experimentacoes, muitos erros, muitas verificacoes numericas e postulacoes 
mal sucedidas. A formalizacao surge muito depois, em geral feita por 
outra(s) pessoas. E muito provavelmente e um processo iniciatico, onde o 
emocional e fundamental.

Assim, ninguem teve de imediato a ideia  cintilante que deveria criar um 
numero "i" tal que i^2=-1 e, a seguir, apresentou um conjunto de axiomas que 
resolveria todos os problemas associados. Para chegar a este nivel 
passou-se, pelo menos, 2 seculos, só para voce ter uma leve ideia de como as 
coisas realmente sao.

As exposicoes didaticas e as demonstracoes matematicas, por inumeras razoes, 
precisam ser sucintas e passam a falsa ideia de uma coisa acabada, completa. 
Em verdade, procedendo assim, eles escondem uma imensa hipocrisia, pois 
aquilo que estudamos foi consolidado ao longo de um extenso caminho, 
pontilhado com contribuicoes diversas de diversos Matematicos. E por isso 
que e MUITO IMPORTANTE o estudante ler um pouco sobre a historia do 
desenvolvimento das ideias, pois assim ele nao tera duvidas como estas que 
voce expoe e aumentara significativamente a sua compreensao de contexto e 
sensibilidade matematica.

O FORMALISMO, mesmo poderando a sua importancia na faculdade de permitir 
apresentar de forma sucinta e breve um resultado, e, didaticamente, um 
crime, pois omite o desenvolvimento das ideias e passa uma impressao errada 
de como se faz matematica; e tambem um fracasso filosofico, pois assim Godel 
mostrou. Leia do "Livro do Boyer, Historia da Matematica", e todas as suas 
duvidas serao esclarecidas e voce fara uma grande aquisicao pra sua 
biblioteca particular.











>From: "Bruno Bonagura" <bbonagura@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] i^2 = -1 ??
>Date: Sun, 1 May 2005 14:14:03 -0300
>
>Tenho uma breve curiosidade e depois uma pergunta que não achei resposta em
>site nenhum. Primeiro: Quem inventou os números complexos ? Foi o Gauss ?
>Segundo: Quando a teoria dos números complexos foi desenvolvida qual foi o
>axioma base da teoria ? Foi que i² = -1 ? Ou foi imposto que a 
>multiplicação
>de dois complexos implicaria na soma dos ângulos de suas representações
>polares ?
>Essas duas proposições demonstram uma à outra, mas para a teoria imagino 
>que
>uma delas tenha sido adotada como axioma.
>
>Isso me leva a perguntar oque levou ao desenvolvimento dessa teoria, se foi
>a "raiz de números negativos" ou se simplesmente foi um conjunto de
>propriedades para facilitar manipulações geométricas no plano dos complexos
>?
>
>Um professor meu fazia repetidamente nas aulas o seguinte procedimento:
>(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) e dizia que o par ordenado (1,
>0) era despresado/ocutado e o (0,1) definido como i. Então (x, y) = x + yi.
>Realmente é uma explicação que me esclareceu a mente quanto aos números
>complexos. Eles seria apenas vetores que pela imposição da soma dos ângulos
>na multiplicação se chegaria ao i² = -1, ou melhor (0, 1)² = (0, -1).
>
>Queria realmente saber a origem de toda essa teoria.
>
>Obrigado
>Bruno Bonagura

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