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[obm-l] Re: [obm-l] Podem me ajudar com números complexos?
>
> Oi! Acabei de entrar na lista. Sou uma menina de 14 anos que, por incrível
que pareça,
>adora matemática (apesar de eu ser perfeitamente normal, viu?)
Bem vinda à lista. Acredito que há bastantes pessoas tímidas e com medo
de se apresentar que estão cadastradas. Mas humildemente não vejo
o porquê. Todos tem o direito de ler e aprender.
O professor Nicolau certamente concorda com isso.
Acho bastante importante pessoas mais jovens participarem:
Alguns problemas parecem simples (como o teorema de Fermat), mas mesmo
os "experts" demorariam anos para resolver, ao passo que alguém de 14 anos
como Evarist Galois resolverira em minutos. Por isso acho que vc tem mesmo
que se aprofundar! Dou a maior força. Gostaria que minha irmã de 17
gostasse
de matemática assim... Mas ela gosta de filosofia ... enfim.
> Mas, seno um pouquinho aborrecente, eu gostaria que alguem me explicasse o
que é o
>conjunto dos complexos e o que o é de fato a misteriosa raiz(-1). Vou
tentar colocar
>minha dúvida: inicialmente tínhamos o conjunto dos naturais N =
{1,2,3......} (meu prof.
>convenciona que 0 não é natural), que parece que é considerado primitivo,
inerente ao
Você está indo bem! Vamos a história de Leopold Kronecker (ou seria Paul
Maurice
Dirac?) não me lembro qual dos dois. Foram pessoas brilhantes.
Um deles achava que os números naturais eram perfeitos no sentido de que
algo
que não fosse "natural" era inconcebível na natureza e que os outros tipos
de números
não existiam. Essa questão é epistemológica (epistemologia é a ciência que
estuda
a origem das idéias científicas). Mas talvez não devêssemos ir muito a
fundo, pois
mais adiante na vida você vai descobrir que é impossível axiomatizar a
matemática toda.
Vamos aceitar que os números todos existem, inclusive os complexos.
>isto? (Eu nunca consegui entender este processo de criação dos
>irracionais, uma vez li alguma coisa sobre cortes de Dedekind mas confesso
que não
>entendi quase nada, me confundi toda)
Eu tenho 30 anos e ainda não (!!!) não entendi os cortes de
Dedekind ...
Talvez o Cláudio explique para a gente ou alguém mande um link.
O que eu posso dizer para você é algo sobre a cardinalidade desses
conjuntos:
O conjunto dos racionais (ou dos inteiros) é denumerável. Isto é, você pode
colocá-los em correspondência biunívoca com os naturais. Já o conjunto dos
números irracionais não é denumerável.
Outra coisa interessantes é que não é possível
preencher R^2 com R^1 (procure curva de Peano (ou seria Hilbert) no Google).
Dá uma olhada também no
livro de Seymor
Lipschutz - General Topology - Schaum Outline - Capítulo I para entender
melhor esses conceitos. Deve ter em português.
> Bom, aí verificaram que os reais ainda não resolviam, pois não podíamos
calcular raízes
>pares de números negativos, como a misteriosa raiz(-1). Aí é que me
confundo.
>Definiram então i = raiz(-1), simplesmente deram um nome i de imaginário a
raiz(-1). E >criou-se um conjunto, o dos complexos, atribuindo-se a ele
aquelas mesmas regras dos
>reais (soma, multiplicaçção, propriedades comutativas, associativas e
distributivas, coisa
>que já estudei e acho que entendi). Mas a misteriosa raiz(-1) ficou sendo
simplesmente
>i, quer dizer, me parece que desta vez não resolveram o problema, apenas
deram um
>nome à raiz(-1). Certamente não é isto, mas pra quem olha assim de fora
parece um
>pouco de enrolação. Até então, os matemáticos vinham resolvendo os
problemas das
Essa é uma longa história.
De fato ninguém mesmo (!!!) acreditava que poderiam
existir números desse tipo. Antes dos números complexos existiam os
"quartenions",
que possuiam regras bem definidas, se não me engano, para adição e
multiplicação.
Foi quando surgiu o gênio Karl Frederich Gauss e (se não me engano um
aluno
seu Argand) que identificaram geometricamente os números complexos com
pontos
no plano cartesiano. Como "ver é crer" então o pessoal começou a
interpretar
melhor isso. Gauss em sua tese de doutorado provou que os números complexos
formavam um corpo (veja alguns e-mails recentes sobre o conceito de corpo) e
mais: Toda equação algébrica de grau n possuía exatamente n raizes neste
corpo.
Exemplo: Uma equação do segundo grau *sempre* sempre duas raízes
complexas,
uma equação do terceiro grau *sempre* tem três raízes complexas.
Outro exemplo: A equação x^3 = 1 não tem só uma solução como se
pensava.
Ela tem 3 soluções: 1, 1/2 - raiz(3)*i / 2, 1/2 + raiz(3)*i / 2!
Esse teorema é o teorema fundamental da álgebra: O corpo dos números
complexos é *fechado* sob as operações dele definidas.
Com a palavra conjunto fechado em relação à uma operação, queremos
dizer que
se pegarmos dois elementos deste conjunto e aplicarmos uma operação o
elemento
resultante continua caindo dentro do conjunto. Exemplo: pegue dois
naturais e
some. O resultado será um número natural. Dizemos então que o
conjunto dos números naturais é fechado sob a operação adição.
Veja um livro de história da matemática - vai ser uma leitura legal.
>operações nos conjuntos, mas quando chegou nos complexos definiram i =
raiz(-1) e
>expandiram R criando os complexos assumindo a validade das leis que valem
nos reais.
>Aliás, eu tenho um primo que faz engenharia elétrica e ele me
>disse que em eletricidade usa-se j para raiz(-1), pois i é tradicionalmente
reservado para
>corrente elétrica.
Em eletrônica os números complexos são úteis para modelar a defasagem
entre
duas ondas senoidais. Imagine dois vetores girando no círculo em velocidade
constante com um ângulo fixo entre eles. As coordenadas x e y desses
vetores
descrevem ondas senoidais.
A soma destas ondas (no tempo) vai depender da posição dos vetores. Se o
ângulo
entre eles for zero significa que as ondas estão sincronizadas a a "onda
soma" terá
o dobro da amplitude. Se os "vetores girantes" forem opostos, a soma
destes vetores
será zero (respectivamente a soma das ondas será zero (amplitude zero) --
pois
elas estão em oposição de fase). Como vc mesmo disse vetores no plano
e números complexos podem ser identificados.
Tem uma série de TV com animações -- Beyond the Mechanical Universe de
David Goodstein -- onde na parte sobre circuitos elétricos isso é bem
ilustrado cinematograficamente :)
>
> Eu entendo que os complexos são algo como o R^2, quer dizer, pares
ordenados de
>inglês sobre complexos, do Rudin, mas nao entendi ABSOLUTAMENTE NADA, nem a
introducao...
Quando estudei números complexos eu pensei:
Por que não criaram os "números perplexos"?
Tipo, você coloca 1/0 = p e daí a equação 0.x = 1 tem solução. Tudo
bem, mas
p poderia ser qualquer número complexo! Então não faria sentido ter
"números
perplexos" -- Só pra confundir um pouquinho :) Leve na esportiva ;- )
[]s Ronaldo L. Alonso
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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