Re: [obm-l] trigonometria-ajuda

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

Bom dia  Nicolau:
    O que eu pensei foi:
    Pelo teorema fundamental da álgebra (tese de doutorado
de Gauss) o corpo dos números complexos é fechado.  Logo, a raiz cúbica
de um número complexo tem que ser um número complexo.

      Porém para cada raiz cúbica de um  número complexo dentro das
 raízes cúbicas abaixo  haverá
 6 raízes cúbicas (12 se consideramos +-) cuja combinação duas a duas
dará 3 raízes reais (o Maple deve ter feito isso).

        Mas eu me lembro que o método que eu utilizei foi uma construção
geométrica.   Vou tentar fazer o exercício novamente.
[]s
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Nicolau escreveu:

É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como
cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos
(z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo,
feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais:
2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.532088886
e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus
então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos
para o maple resolver a cúbica, ele dá

          1/2 1/3
(4 + 4 I 3   )              2
----------------- + -----------------
        2                     1/2 1/3
                    (4 + 4 I 3   )

e outras duas raízes com expressões mais complicadas.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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