Re: [obm-l] trigonometria-ajuda

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote:
> Como se encontra o valor num�rico de cos80�?
> 
>       Essa � uma boa pergunta.   80 =  60 + 20.
>        cos e sen de 60 voc� sabe.
>       O problema � achar cos e sin de 20.
>       Para isso voc� tem que aplicar a f�rmula do arco triplo.
>        E a� voc� tem uma equa��o do 3 grau.
> 
>  N�o � uma boa sa�da tentar resolver a bendita!
> 
>             A menos
>         que voc� use f�rmulas para ra�zes c�bicas de n�meros complexos,
> pois na f�rmula deste tipo de equa��o c�bica o valor que aparece na
> raiz quadrada � *negativo* (a equa��o tem uma �nica solu��o real) e
> duas complexas conjugadas).

Pe�o desculpas por quebrar esta resposta em duas mensagens, mas n�o
tinha prestado aten��o a esta parte e se eu entendi bem h� alguns erros.

� f�cil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como
cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos
(z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gr�fico em anexo,
feito pelo maple, ajuda a ver que esta equa��o tem tr�s ra�zes reais:
2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.532088886
e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus
ent�o cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos
para o maple resolver a c�bica, ele d�

          1/2 1/3                    
(4 + 4 I 3   )              2        
----------------- + -----------------
        2                     1/2 1/3            
                    (4 + 4 I 3   )

e outras duas ra�zes com express�es mais complicadas. 

Acho que vale a pena mostrar o que acontece com a formula para
resolver a c�bica. Considere a equa��o do segundo grau y^2 + by + c = 0,
com ra�zes y1 e y2. Sabemos que y1+y2 = -b, y1y2 = c.
Seja S = cbrt(y1) + cbrt(y2) (onde cbrt significa raiz c�bica).
Temos S^3 = y1 + 3 y1^(2/3) y2^(1/3) + 3 y1^(1/3) y2^(2/3) + y2 =
(y1+y2) + 3(y1y2)^(1/3)(y1^(1/3) + y2^(1/3)) = -b + 3 cbrt(c) S.
Ou seja, S^3 - 3 cbrt(c) S + b = 0. Fazendo b = -1 e c = 1,
temos que S satisfaz a equa��o para z. Assim, z = cbrt(y1) + cbrt(y2),
onde y1 e y2 s�o as ra�zes de y^2 - y + 1. Ou seja, y1 = (1 + sqrt(-3))/2,
y2 = (1 - sqrt(-3))/2.

[]s, N.
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