Re: [obm-l] Re: [obm-l] cálculo no R^n

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Meu caro Ronaldo,

acho que seu argumento que f é uma contração na bola
B(0,1) não está correta, pois não tpor enquanto não
temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)||
<= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse
hipótese, também não fiquei convensido que ela
injetiva e não adimite inversa diferenciável!!

Sem mais.
  
--- Ronaldo Luiz Alonso
<ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br> wrote:
> ---------------------
> 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x.
> Mostre que f é de classe C infinito e que leva a
> bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
> Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é
> diferenciável na origem.
> 
>     Neste caso se x \in B(0;1) então <x,x> = ||x|| e
> 0<||x|| < 1.   Logo a aplicação é uma contração de
> x.
>      A contração é diferenciável e de classe
> C^{\infty}.
> É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação
> seja
> injetiva.  Por exemplo: Vetores próximos da
> fronteira
> tem norma 1 e portanto serão "pouco contraídos".
>     Assim a demonstração de injetividade usa esse
> fato,
> isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da 
> fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
> que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.  
>        Como ||x|| é sempre   menor que 1 
> esses pontos tem que ser diferentes.
>        Para entender por que a aplicação não é
> diferenciável
> na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor
> estiver da origem mais contraído será" na aplicação
> direta.
>   (reciprocamente na aplicação inversa mais
> expandido 
> será).       A origem é uma espécie de "buraco 
> negro ao contrário" logo não pode ter derivada 
> lá. Argumentos do teorema de função implícita podem 
> ajudar.
>      Novamente sem rigor... apenas com idéias.
> 
> []s Ronaldo L. Alonso
> 


	
	
		
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