Re: [obm-l] soma de termos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Apr 06, 2005 at 03:58:30PM -0300, claudio.buffara wrote:
> Por exemplo, é possível dar uma demonstração combinatória da identidade
> abaixo, que foi uma questão da famosa e difícil prova do IME de 1980/81.
> 
> SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1).
> 
> Agora, quero ver alguém provar isso algebricamente...

O fato (que não é difícil) que você deve conhecer para fazer isto
algebricamente é que f_m(x) = x^m/(1-x)^(m+1) = soma_k binom(k,m) x^k.
Assim o lado direito A é o coeficiente de x^n em
(f_m(x))^2 = x^(2m)/(1-x)^(2m+2) = (1/x) f_(2m+1)(x).
Portanto A é o coeficiente de x^(n+1) de f_(2m+1),
ou seja, A = binom(n+1,2m+1).

Mas eu concordo com o Claudio, prefiro a demonstração combinatoria.
Alias, foi a que eu usei na prova (este foi o meu ano, e eu prestei
o vestibular do IME, mas acabei não entrando lá).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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