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2) Seja f: R^n
--> R^n dada por f(x) = <x,x>.x. Mostre que f é de classe C infinito e
que leva a bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente. Mostre que,
entretanto, a aplicação inversa não é diferenciável na origem.
Neste caso se x \in B(0;1) então <x,x> = ||x||
e
0<||x|| < 1. Logo a aplicação é uma contração de x.
A contração é diferenciável e de classe
C^{\infty}.
É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação seja
injetiva. Por exemplo: Vetores próximos da fronteira
tem norma 1 e portanto serão "pouco contraídos".
Assim a demonstração de injetividade usa esse
fato,
isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da
fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.
Como ||x|| é sempre menor
que 1
esses pontos tem que ser diferentes.
Para entender por que a aplicação não
é diferenciável
na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor
estiver da origem mais contraído será" na aplicação direta.
(reciprocamente na aplicação inversa mais expandido
será). A origem é uma espécie
de "buraco
negro ao contrário" logo não pode ter derivada
lá. Argumentos do teorema de função implícita podem
ajudar.
Novamente sem rigor... apenas com idéias.
[]s Ronaldo L. Alonso
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