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Oi pessoal, estou de volta. Vou tentar
resolver (realmente
quando se trata de demonstrações eu sou mesmo
um
mau técnico):
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1) Mostre que g(x,y) = (int_{0 ... x-y} f(t) dt, int_{0 ... xx - yy} f(t)
dt) é um difeomorfismo do aberto A = {(x,y) em R^2 ; 0 < x <
y} sobre um aberto de R^2, sabendo que a função f: [0,+infinit) --> (0,
+infinito) é contínua. Neste caso, consideremos que o aberto de R^2
resultante
seja a imagem
da aplicação de g sobre A.
Inicialmente mostramos que a aplicação
g(x,y) é injetiva
sobre a imagem pois no caso que abordamos
ela é sobrejetiva (não demonstrado aqui). Com isso
provamos que (x,y) -->
g(x,y) é um
homeomorfismo. Para provar que a
aplicação é um
difeomorfismo basta considerar a derivada de g(x,y)
em
relação a t. Fazemos isso aplicando a
regra de Leibnitz
(diferenciação sobre o sinal de integração).
Como por
hipótese a função f(t) é contínua sobre o intervalo
considerado teremos pela fórmula de Leibnitz
e pela
composição de funções contínuas (que é contínua)
temos
portanto um difeomorfismo.
Faltam
detalhes é claro, mas acho que esta é a idéia
básica.
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