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Oi pessoal, estou de volta. Vou tentar
resolver (realmente
quando se trata de demonstra��es eu sou mesmo
um
mau t�cnico):
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1) Mostre que g(x,y) = (int_{0 ... x-y} f(t) dt, int_{0 ... xx - yy} f(t)
dt) � um difeomorfismo do aberto A = {(x,y) em R^2 ; 0 < x <
y} sobre um aberto de R^2, sabendo que a fun��o f: [0,+infinit) --> (0,
+infinito) � cont�nua. Neste caso, consideremos que o aberto de R^2
resultante
seja a imagem
da aplica��o de g sobre A.
Inicialmente mostramos que a aplica��o
g(x,y) � injetiva
sobre a imagem pois no caso que abordamos
ela � sobrejetiva (n�o demonstrado aqui). Com isso
provamos que (x,y) -->
g(x,y) � um
homeomorfismo. Para provar que a
aplica��o � um
difeomorfismo basta considerar a derivada de g(x,y)
em
rela��o a t. Fazemos isso aplicando a
regra de Leibnitz
(diferencia��o sobre o sinal de integra��o).
Como por
hip�tese a fun��o f(t) � cont�nua sobre o intervalo
considerado teremos pela f�rmula de Leibnitz
e pela
composi��o de fun��es cont�nuas (que � cont�nua)
temos
portanto um difeomorfismo.
Faltam
detalhes � claro, mas acho que esta � a id�ia
b�sica.
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