Re: [obm-l] RE: [obm-l] Quadrado Mágico

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 06.04.05 22:14, kleinad2@globo.com at kleinad2@globo.com wrote:


> A demonstração da independência dos funcionais está ok, mas isso mostra
> que se Z é o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais
> se anulam, então Z (na verdade um subespaço de M(nxn)) é tal que dim Z =
> dim M(nxn) - dim(F), onde por F é o subespaço gerado pelos 2n + 2 funcionais
> em questão no dual de M(nxn), isto é, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n
> - 1. Este resultado é mais geral: Se Z é o espaço dos zeros dos funcionais
> f_1, ..., f_k, que estão no dual de V, então dim Z = dim V - dim (f_1, ...,
> f_k).
> 
> Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ...
> = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n <> 0, assim dim Q >=
> dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A)
> = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados mágicos, um
> subespaço vetorial). Dá para provar que dim Q <= dim Z + 1 (naturalmente
> um resultado mais geral válido para quaisquer funcionais), logo dim Q =
> dim Z + 1 = n^2 - 2n.
> 
> []s,
> Daniel
> 
Claro!

Eu esqueci da condicao de que as matrizes sao quadrados magicos...

Uma forma mais elementar de ver isso eh observar que o espaco dos quadrados
magicos eh justamente o espaco-solucao de um sistema linear homogeneo de 2n
equacoes em n^2 incognitas. As equacoes sao:
L_1 - T = 0
...
L_n - T = 0
C_1 - T = 0
...
C_(n-1) - T = 0
S - T = 0
Como jah vimos, estas equacoes sao L.I. jah que os funcionais lineares
correspondentes sao L.I.
Logo, a dimensao do espaco solucao eh n^2 - 2n = dim(Q).

[]s,
Claudio.
 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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