[obm-l] Re: [obm-l] soma de termos e c�rculo tangente

[Lu�s Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

E qual � a solu��o no arquivo acho que do S�rgio de
provas do IME? Ele poderia acrescentar a dessa msg e
a por indu��o.

Essa solu��o do Nicolau deve mesmo ser a melhor algebricamente.
Mas ser� que algu�m a conhecia para fazer a prova? Imagino que
os autores da quest�o pensavam na solu��o combinat�ria ou
indu��o. A que eu apresento no livro faz manipula��es no
somando, como o Claudio andou sugerindo, mas � muito enrolada.

N�o estou conseguindo resolver o seguinte problema de cg:
s�o dados um �ngulo (imagine de 50 graus) e uma transversal
cortando os dois lados do �ngulo formando um tri�ngulo de
tamanho conveniente.

Trace um c�rculo tangente aos lados do �ngulo e determinando
na transversal uma corda de comprimento igual ao raio do c�rculo.

[]'s
Lu�s

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] soma de termos
>Date: Thu, 7 Apr 2005 10:28:04 -0300
>
>On Wed, Apr 06, 2005 at 03:58:30PM -0300, claudio.buffara wrote:
> > Por exemplo, � poss�vel dar uma demonstra��o combinat�ria da identidade
> > abaixo, que foi uma quest�o da famosa e dif�cil prova do IME de 1980/81.
> >
> > SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1).
> >
> > Agora, quero ver algu�m provar isso algebricamente...
>
>O fato (que n�o � dif�cil) que voc� deve conhecer para fazer isto
>algebricamente � que f_m(x) = x^m/(1-x)^(m+1) = soma_k binom(k,m) x^k.
>Assim o lado direito A � o coeficiente de x^n em
>(f_m(x))^2 = x^(2m)/(1-x)^(2m+2) = (1/x) f_(2m+1)(x).
>Portanto A � o coeficiente de x^(n+1) de f_(2m+1),
>ou seja, A = binom(n+1,2m+1).
>
>Mas eu concordo com o Claudio, prefiro a demonstra��o combinatoria.
>Alias, foi a que eu usei na prova (este foi o meu ano, e eu prestei
>o vestibular do IME, mas acabei n�o entrando l�).
>
>[]s, N.


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