[obm-l] Re: [obm-l] soma de termos e círculo tangente

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

E qual é a solução no arquivo acho que do Sérgio de
provas do IME? Ele poderia acrescentar a dessa msg e
a por indução.

Essa solução do Nicolau deve mesmo ser a melhor algebricamente.
Mas será que alguém a conhecia para fazer a prova? Imagino que
os autores da questão pensavam na solução combinatória ou
indução. A que eu apresento no livro faz manipulações no
somando, como o Claudio andou sugerindo, mas é muito enrolada.

Não estou conseguindo resolver o seguinte problema de cg:
são dados um ângulo (imagine de 50 graus) e uma transversal
cortando os dois lados do ângulo formando um triângulo de
tamanho conveniente.

Trace um círculo tangente aos lados do ângulo e determinando
na transversal uma corda de comprimento igual ao raio do círculo.

[]'s
Luís

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] soma de termos
>Date: Thu, 7 Apr 2005 10:28:04 -0300
>
>On Wed, Apr 06, 2005 at 03:58:30PM -0300, claudio.buffara wrote:
> > Por exemplo, é possível dar uma demonstração combinatória da identidade
> > abaixo, que foi uma questão da famosa e difícil prova do IME de 1980/81.
> >
> > SOMA(k=0...n) Binom(k,m)*Binom(n-k,m) = Binom(n+1,2m+1).
> >
> > Agora, quero ver alguém provar isso algebricamente...
>
>O fato (que não é difícil) que você deve conhecer para fazer isto
>algebricamente é que f_m(x) = x^m/(1-x)^(m+1) = soma_k binom(k,m) x^k.
>Assim o lado direito A é o coeficiente de x^n em
>(f_m(x))^2 = x^(2m)/(1-x)^(2m+2) = (1/x) f_(2m+1)(x).
>Portanto A é o coeficiente de x^(n+1) de f_(2m+1),
>ou seja, A = binom(n+1,2m+1).
>
>Mas eu concordo com o Claudio, prefiro a demonstração combinatoria.
>Alias, foi a que eu usei na prova (este foi o meu ano, e eu prestei
>o vestibular do IME, mas acabei não entrando lá).
>
>[]s, N.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================