[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cálculo no R^n

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

>Meu caro Ronaldo,
>acho que seu argumento que f é uma contração na bola
>B(0,1) não está correta, pois não por enquanto não
>temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)||
><= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse
>hipótese, também não fiquei convensido que ela
>injetiva e não adimite inversa diferenciável!!
>Sem mais.

       Acho que você como matemático está certo em
julgamento.   De fato, matemáticos querem
sempre coisas  precisas.  A intuição ajuda muito
mas não convence  :)

Deixa-me tentar novamente:
   Acredito que a constante k pode ser obtida pela
desigualdade triangular.
||f(x) + (- f(y))|| <= ||f(x)|| + ||-f(y)||  = ||<x,x>x|| +
||<y,y>y|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3

como ||x||<1 e ||y|| < 1, então ||x||^3+||y||^3 < ||x||+||y||
<||x|| - ||y|| (pois a norma é sempre positiva).
então qualquer 0 <= k < 1 satisfaz a desigualdade.

       Está certo?

    Falta tempo para eu examinar melhor as
idéias (e talvez também competência minha,
para firmá-las).
[]s e saudações.


--- Ronaldo Luiz Alonso
<ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br> wrote:
> ---------------------
> 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x.
> Mostre que f é de classe C infinito e que leva a
> bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
> Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é
> diferenciável na origem.
>
>     Neste caso se x \in B(0;1) então <x,x> = ||x|| e
> 0<||x|| < 1.   Logo a aplicação é uma contração de
> x.
>      A contração é diferenciável e de classe
> C^{\infty}.
> É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação
> seja
> injetiva.  Por exemplo: Vetores próximos da
> fronteira
> tem norma 1 e portanto serão "pouco contraídos".
>     Assim a demonstração de injetividade usa esse
> fato,
> isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da
> fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
> que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.
>        Como ||x|| é sempre   menor que 1
> esses pontos tem que ser diferentes.
>        Para entender por que a aplicação não é
> diferenciável
> na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor
> estiver da origem mais contraído será" na aplicação
> direta.
>   (reciprocamente na aplicação inversa mais
> expandido
> será).       A origem é uma espécie de "buraco
> negro ao contrário" logo não pode ter derivada
> lá. Argumentos do teorema de função implícita podem
> ajudar.
>      Novamente sem rigor... apenas com idéias.
>
> []s Ronaldo L. Alonso
>





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