Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cálculono R^n

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Injetiva:
f(x) = f(y) ==> <x,x>x = <y,y>y.
Se x = 0, entao <y,y>y = 0 e isso se e soh se y = 0.
Se x <> 0, entao <x,x> > 0 e x = <y,y>/<x,x>y.
y nao pode ser 0, pois nesse caso teriamos x = 0, uma contradicao.
Logo, <y,y> > 0 e x = ky, onde k = <y,y>/<x,x> > 0.
Assim, <x,x> = <ky,ky> = k^2<y,y> ==>
1/k^2 = <y,y>/<x,x> = k ==>
k^3 = 1 ==> 
k = 1, pois k eh real ==>
x = y ==>
f eh injetiva.

Mesmo em R^1 a inversa nao eh diferenciavel, pois nesse caso f(x) = x^3 e a
inversa g(x) = x^(1/3) nao eh diferenciavel na origem.

Seja g: R^n -> R^n a inversa de f.
Entao, g(y) = y/<y,y>^(1/3) se y <> 0  e  g(0) = 0. Pode fazer as contas.

Se g for diferenciavel na origem, vai existir uma transformacao linear T tal
que:
g(h) = g(0) + T*h + r(h), tal que r(h)/|h| -> 0 quando h -> 0  ==>
r(h) = h/<h,h>^(1/3) - T*h.
Tome h da forma k*e_1, onde k eh real e e_1 = (1,0,0,...,0).
Entao, h/<h,h>^(1/3) = k^(1/3)*e_1  e  T*h = k*(t_1,t_2,...,t_n), onde os
t_i dependem de T.
Logo, r(h) = (k^(1/3) - k*t_1,-k*t_2,...,-k*t_n).

|h| = raiz(<h,h>) = |k| ==>
r(h)/|h| = (k^(1/3)/|k| - kt_1/|k|,-kt_2/|k|,...,-kt_n/|k|).
Quando k -> 0 (e portanto |h| -> 0), as coordenadas 2, 3, ..., n soh terao
limite se t_2 = t_3 = ... = t_n = 0.
Mesmo nesse caso, k^(1/3)/|k| - kt_1/|k| eh ilimitada numa vizinhaca de
zero, de modo que r(h)/|h| nao tende a zero. Ou seja, g nao eh diferenciavel
na origem.

[]s,
Claudio.

on 08.04.05 01:43, Ronaldo Luiz Alonso at ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br
wrote:

>> Meu caro Ronaldo,
>> acho que seu argumento que f é uma contração na bola
>> B(0,1) não está correta, pois não por enquanto não
>> temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)||
>> <= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse
>> hipótese, também não fiquei convensido que ela
>> injetiva e não adimite inversa diferenciável!!
>> Sem mais.
> 
> Acho que você como matemático está certo em
> julgamento.   De fato, matemáticos querem
> sempre coisas  precisas.  A intuição ajuda muito
> mas não convence  :)
> 
> Deixa-me tentar novamente:
> Acredito que a constante k pode ser obtida pela
> desigualdade triangular.
> ||f(x) + (- f(y))|| <= ||f(x)|| + ||-f(y)||  = ||<x,x>x|| +
> ||<y,y>y|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3
> 
> como ||x||<1 e ||y|| < 1, então ||x||^3+||y||^3 < ||x||+||y||
> <||x|| - ||y|| (pois a norma é sempre positiva).
> então qualquer 0 <= k < 1 satisfaz a desigualdade.
> 
> Está certo?
> 
> Falta tempo para eu examinar melhor as
> idéias (e talvez também competência minha,
> para firmá-las).
> []s e saudações.
> 
> 
> --- Ronaldo Luiz Alonso
> <ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br> wrote:
>> ---------------------
>> 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x.
>> Mostre que f é de classe C infinito e que leva a
>> bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
>> Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é
>> diferenciável na origem.
>> 
>> Neste caso se x \in B(0;1) então <x,x> = ||x|| e
>> 0<||x|| < 1.   Logo a aplicação é uma contração de
>> x.
>> A contração é diferenciável e de classe
>> C^{\infty}.
>> É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação
>> seja
>> injetiva.  Por exemplo: Vetores próximos da
>> fronteira
>> tem norma 1 e portanto serão "pouco contraídos".
>> Assim a demonstração de injetividade usa esse
>> fato,
>> isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da
>> fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
>> que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.
>> Como ||x|| é sempre   menor que 1
>> esses pontos tem que ser diferentes.
>> Para entender por que a aplicação não é
>> diferenciável
>> na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor
>> estiver da origem mais contraído será" na aplicação
>> direta.
>> (reciprocamente na aplicação inversa mais
>> expandido
>> será).       A origem é uma espécie de "buraco
>> negro ao contrário" logo não pode ter derivada
>> lá. Argumentos do teorema de função implícita podem
>> ajudar.
>> Novamente sem rigor... apenas com idéias.
>> 
>> []s Ronaldo L. Alonso
>> 
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