[obm-l] Re: [obm-l] cálculo no R^n

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

Obrigado Cláudio.  Nada substitui o talento.
Seu contra-exemplo em R^1 já seria suficiente provar
não diferenciabilidade da inversa no caso geral.
  A transformação linear a que
você se refere,  poderia ser considerada a
matriz Jacobiana (isto é a matriz das primeiras
derivadas parciais) na expansão de Taylor de f(x).
  Neste caso, poderíamos tentar usar este fato achar
uma constante k e  provar
que f se comporta como uma contração como eu
havia mencionado no conjunto B(0;1) - {0}, mas
isso não funcionaria pois f é uma contração fraca
(justamente pelo fato de ser f não linear).

[]s
  Ronaldo L. Alonso.

----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, April 08, 2005 10:23 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cálculono R^n


Injetiva:
f(x) = f(y) ==> <x,x>x = <y,y>y.
Se x = 0, entao <y,y>y = 0 e isso se e soh se y = 0.
Se x <> 0, entao <x,x> > 0 e x = <y,y>/<x,x>y.
y nao pode ser 0, pois nesse caso teriamos x = 0, uma contradicao.
Logo, <y,y> > 0 e x = ky, onde k = <y,y>/<x,x> > 0.
Assim, <x,x> = <ky,ky> = k^2<y,y> ==>
1/k^2 = <y,y>/<x,x> = k ==>
k^3 = 1 ==>
k = 1, pois k eh real ==>
x = y ==>
f eh injetiva.

Mesmo em R^1 a inversa nao eh diferenciavel, pois nesse caso f(x) = x^3 e a
inversa g(x) = x^(1/3) nao eh diferenciavel na origem.

Seja g: R^n -> R^n a inversa de f.
Entao, g(y) = y/<y,y>^(1/3) se y <> 0  e  g(0) = 0. Pode fazer as contas.

Se g for diferenciavel na origem, vai existir uma transformacao linear T tal
que:
g(h) = g(0) + T*h + r(h), tal que r(h)/|h| -> 0 quando h -> 0  ==>
r(h) = h/<h,h>^(1/3) - T*h.
Tome h da forma k*e_1, onde k eh real e e_1 = (1,0,0,...,0).
Entao, h/<h,h>^(1/3) = k^(1/3)*e_1  e  T*h = k*(t_1,t_2,...,t_n), onde os
t_i dependem de T.
Logo, r(h) = (k^(1/3) - k*t_1,-k*t_2,...,-k*t_n).

|h| = raiz(<h,h>) = |k| ==>
r(h)/|h| = (k^(1/3)/|k| - kt_1/|k|,-kt_2/|k|,...,-kt_n/|k|).
Quando k -> 0 (e portanto |h| -> 0), as coordenadas 2, 3, ..., n soh terao
limite se t_2 = t_3 = ... = t_n = 0.
Mesmo nesse caso, k^(1/3)/|k| - kt_1/|k| eh ilimitada numa vizinhaca de
zero, de modo que r(h)/|h| nao tende a zero. Ou seja, g nao eh diferenciavel
na origem.

[]s,
Claudio.







=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================