Re: [obm-l] limsup e subsequencias

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.04.05 22:22, Fabio Niski at fniski@terra.com.br wrote:

...
> Em particular existem infinitos indices n tal que x[n] > limsup(x[n]),
> mas isto é uma contradicao pois limsup(x[n]) é
> justamente o menor elemento de (x[n]) tal que existam apenas um numero
> finito de elementos de (x[n]) maior do que ele.
...

A afirmacao correta eh:
Se b > limsup(x(n)) entao existe apenas uma quantidade finita de indices n
tais que x(n) >= b. Alem disso, limsup(x(n)) eh o infimo do conjunto B de
tais b, mas nao pertence necessariamente a este conjunto. Ou seja, pode
haver uma infinidade de indices n tais que x(n) > limsup(x(n)).
Por exemplo: x(n) = 1/n > 0 para todo n, e limsup(x(n)) = lim x(n) = 0.
Por outro lado, se y(n) = 1 - 1/n, entao limsup(y(n)) = lim y(n) = 1 mas
nenhum termo de y(n) eh maior que ou igual a 1.

Pra provar a primeira afirmacao, suponha que b > a = limsup(x(n)) e que haja
uma infinidade de indices n tais que x(n) >= b.
Seja a(n) = inf{x(m) | m >= n}. (a(n)) eh monotona nao-crescente e limitada,
pois (x(n)) eh limitada. Pela definicao de limsup, a = lim a(n).
Para todo n, existe n_1 tal que n_1 > n e x(n_1) >= b.
Logo, x(n_1) pertence a {x(m) | m >= n} e, portanto,
a(n) = sup{x(m) | m >= n} >= x(n_1) >= b.
Logo, lim a(n) >= b > a ==>
contradicao ==> 
existe apenas um numero finito de indices n tais que x(n) >= b.

Seja agora c < a.
Nos provamos, no e-mail anterior, que (x(n)) tem uma subsequencia
convergindo pra a. Assim, dado eps > 0, o intervalo (a - eps,a + eps) contem
uma infinidade de termos da sequencia. Em particular, tomando eps = a - c,
vemos que existe uma infinidade de termos maiores do que c.
Logo, se c < a, entao c nao pertence a B.

Conclusao inescapavel: a = inf(B).
Mais ainda: B contem (a,+inf) e estah contido em [a,+inf).

***

Valeu, Niski. Essa sua duvida me forcou a relembrar a teoria de limsup e
liminf, que eu nao via desde o ano passado, e a escrever as demonstracoes,
coisa que eu nunca havia feito. Foi um bom treino. Obrigado.

[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================