Re: [obm-l] limsup e subsequencias

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.04.05 22:22, Fabio Niski at fniski@terra.com.br wrote:

> Ola pessoal.
> Me deparei com o seguinte problema:
> Seja X = (x[n]) uma sequencia limitada em R.
> Prove que se L é o conjunto dos v pert R tal que exista uma subsequencia
> de X que converge para v, entao limsup(x[n]) = sup L
> 
> Bom o que eu consegui até agora foi isso:
> Suponha que exista uma subsequencia que convirja para um numero v maior
> do que limsup(x[n]).
> Ora, como v é limite de uma subsequencia de (x[n]) entao existem
> infinitos termos da sequencia que estao no intervalo (v-eps, v+eps) para
> qualquer eps > 0. Em particular existem infinitos indices n tal que
> x[n] > limsup(x[n]), mas isto é uma contradicao pois limsup(x[n]) é
> justamente o menor elemento de (x[n]) tal que existam apenas um numero
> finito de elementos de (x[n]) maior do que ele.
> 
> Acredito que eu mostrei aqui que limsup(x[n]) é apenas um limitante
> superior para L certo? Como eu mostro que ele é o menor limitante
> superior (e portanto o sup) de L ?
>
Seja a = limsup(x(n)).

Se a nao for limite de uma subsequencia de (x(n)) entao existe eps > 0 tal
que o intervalo (a - eps,a + eps) nao contem termo algum de (x(n)).

Isso quer dizer que existe N tal que n >= N ==> x(n) <= a - eps, pois voce
jah provou acima que existe no maximo uma quantidade finita de indices n
tais que x(n) >= a + eps.

Logo, a(N) = sup{x(n) | n >= N} <= a - eps. Em particular, a(N) nao pode
convergir para a ==> contradicao, pois lim(N -> inf) a(N) = a (lembre-se da
definicao de limsup)

Portanto, existe uma subsequencia de (x(n)) convergindo para a.

Como nenhuma subsequencia pode convergir para algum real maior do que a,
concluimos que a = sup(L).


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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