Re: [obm-l] Cardinalidade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.01.05 11:11, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> 
> Oi, Nicolau e Artur:
> 
>> Pelo que eu entendo, o axioma da escolha eh    > necessario justamente
> quando nao                > existe uma forma obvia de se ordenar
>> os .elementos de um conjunto. Voces
>> concordam?
> 
> Sim, acho que eh nesta linha, mas me parece que nao so com relacao a
> ordenacao. Por exemplo, se tivermos que escolher um elemento em um intervalo
> de R, que nao pode ser ordenado em ordem crescente nem decrescente, podemos
> usar o seguinte processo bem definido: se o intervalo tiver pontos extremos
> reais, escolhemos o seu ponto medio; se um dos pontos extremos for + ou -
> infinito e outro for um real r, escolhemos + = - 0,9 r, conforme r seja
> positivo ou negativo; e se o intervalo for o proprio R, escolhemos 0.
> Existem eh claro uma infinidade e outros processos bem definidos que evitam
> o que se chama de escolha arbitraria (bom, pode aperecer alguem que diga que
> se usou o axioma da escolha porque se escolheu arbitrariamente um processo
> no conjunto infinito de processos.....)
> 
Pensando melhor, eu deveria ter dito BEM-ORDENAR os elementos de um conjunto
(de forma que todo subconjunto nao vazio desse conjunto tenha um menor
elemento). Mas acabei de me lembrar que o axioma da escolha eh equivalente
ao principio geral da boa ordenacao, que diz que todo conjunto pode ser bem
ordenado. Agora, exibir uma tal boa-ordenacao de R sao outros 500...

>> Por exemplo, quando lidamos com algum          > subconjunto A de N o
> axioma da escolha          > nao eh necessario pois podemos sempre escolher
>> o menor elemento de A, digamos a1, que existe   > por causa do principio
> da boa ordenacao, o qual > eh independente  do axioma da escolha (acho eu!).
> 
> Eu acho que eh independente sim.
> 
>> Em seguida do axioma da escolha (acho eu!). Em > seguida do axioma da
> escolha (acho eu!). Em    > seguida, escolhemos o menor elemento de A -
> {a1}, etc.
> 
> Tem uma ilustracao famosa do axioma da escolha, devida a Betrand Russel, se
> nao me engano, que diz o seguinte: o axioma da escolha eh necessario para se
> escolher uma meia de um conjunto infinito de pares de meias, mas nao para se
> escolher um sapato de um conjunto infinito de pares de sapato.
> 
> Eh do Bertrand Russel sim.
> 
> Um ponto que sempre me intrigou e que quem nao aceita o Axioma da escolha
> nao pode aceitar praticamente nenhuma das provas referentes a espacos
> metricos ou topologicos gerais. Por exemplo, quase todas a sprovas sobra
> compaticidade em espacos metricos ou mesmo topologicos gerais beaseiam em
> escolhas infinitas e arbitraris, de elementos, coberturas, etc.

No fim das contas, acho que quase todo mundo prefere uma demonstracao
construtiva. Soh que, infelizmente, ela nao existe pra maior parte dos
teoremas interessantes. Entao, a unica alternativa eh aceitar uma
demonstracao que mata a cobra mas NAO mostra o pau. Me parece que, hoje em
dia, a maioria dos matematicos estah conformada com esta situacao e engole o
axioma da escolha justamente porque nao tem escolha...

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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