Re: [obm-l] Cardinalidade

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Obrigado Nicolau. 

Eu pediria que vc esclarecesse uma duvida. Eu julgava que, para provar que
uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável, nao precisavamos
do axioma da escolha. Suponhamos que  A_1...A_n..seja os conjuntos da
colecao e que, a principio, sejam disjuntos 2 a 2. Podemos dispor os
elementos dos conjuntos da colecao em uma "matriz de dimensoes infinitas" 
a_1_1 a_1_2....a_1_n...
.
.
a_m_1 a_m_2....a_m_n...
.
.
Como a colecao eh disjunta 2 a 2, a cada elemento de A =Uniao(A_n)
corresponde 1 e somente 1 par ordenado (m,n) de N^2, N os inteiros
positivos. Hah assim uma bijecao entre A e N^2, e como N^2 eh enumeravel, A
tambem eh. Nao consegui ver onde usamos o axioma da escolha aqui. Para
provar que N^2 eh enumeravel nao precisamos de axioma da escolha, certo?
Podemos estabelecer uma bijecao entre os pares (m,n) e os valores da funcao
f(m,n) = 2^m*3^n, uma das provas classicas.

Se a colecao {A_n} nao for disjunta, podemos obter uma colecao {B_n},
disjunta 2 a 2,  definindo B_1 = A_1 e B_n = A_n - Uniao(k=1,n-1) A_k. Entao
Uniao B_n = Uniao de A_n e Uniao(B_n) eh enumeravel. Na realidade, ateh me
parece que o primeiro argumento pode ser diretamente aplicado mesmo se os
conjuntos da colecao nao forem disjuntos 2 a 2.
Artur   


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Cardinalidade
Data: 06/01/05 21:39

On Thu, Jan 06, 2005 at 04:09:00PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Se X e Y são infinitos, então |X U Y| = max(|X|,|Y|).
> Eu conheco este teorema, ma nunca vi a demonstracao, gostaria de ve_la.
Uma
> vez tentei mas me enrolei. Aceito o axioma da escolha sim (alias, sem ele
> todos aqueles teoremas sobre compaticidade em espacos topologicos
> arbitrarios seriam derrubados, certo? 

O axioma da escolha é necessário até para provar os seguintes fatos.
(1) Uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável.
(2) A relação de ordem entre cardinais é uma ordem total.
Ou seja, sim, o mundo sem o axioma da escolha é muito estranho.

Mas voltando a sua pergunta.
Suponha sem perda de generalidade suponha que |X| <= |Y|.
Podemos ainda supor que |X| = |Y| e que X e Y são disjuntos.
É uma conseqüência do axioma da escolha que todo conjunto
admite uma boa ordem. Vamos portanto supor X e Y bem ordenados.
Podemos sem perda de generalidade supor que todo segmento inicial
próprio tem cardinalidade menor que a de X, ou seja,
podemos escrever X = {x0, x1, ..., xa, ...}, Y = {y0, y1, ..., ya, ...},
a < |X| (a é um ordinal). Temos X U Y = {x0, y0, x1, y1, ..., xa, ya, ...}.
Também em XUY todo segmento inicial tem cardinalidade < |X|
e portanto a boa ordem define a bijeção.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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