Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] + 2 prob. de álg. linear

on 07.01.05 10:07, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:

> olá gente, tem mais dois problemas q naum estou conseguindo resolver, e gostaria de uma ajudinha do pessoal da lista:
>  
> 1) Mostrar que a dimensão do espaço vetorial R (corpo do reais) sobra Q (corpo do racionais) não é enumerável.
>  
> Suponhamos que a dimensao de R sobre Q seja enumeravel.
> Entao, existe um conjunto enumeravel B de reais (uma base de R sobre Q) tal que todo real pode ser expresso como uma combinacao linear racional de um numero finito de elementos de B.
> Por sua vez, isso implica na existencia de uma sobrejecao do conjunto dos subconjuntos finitos de Q sobre R, o que eh uma contradicao, pois o conjunto dos subconjuntos finitos de Q eh enumeravel.
>
> 2) Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão INFINITA e B = {v_L ; L pertence a uma família qualquer de índices} uma base infinita para V. Seja {w_L ; L pertence a mesma família de índices do conj. B} um subconjunto de W, onde W é um K-espaço vetorial. Mostre que existe uma única transformação linear T: V --> W tal que T(v_L) = w_L, p/ todo L.
>
> A demonstracao eh exatamente identica ao do caso em que a dimensao eh finita. Consulte qualquer livro de algebra linear (se o livro nao tiver essa demonstracao, jogue-o fora e arranje outro).
> A unica coisa a ter em mente eh que uma combinacao linear eh sempre uma soma finita, mesmo que a base seja infinita.
>
> []s,
> Claudio.
>