Re: [obm-l] Cardinalidade

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Nicolau e Artur:

> Pelo que eu entendo, o axioma da escolha eh    > necessario justamente
quando nao                > existe uma forma obvia de se ordenar           
> os .elementos de um conjunto. Voces
> concordam?

Sim, acho que eh nesta linha, mas me parece que nao so com relacao a
ordenacao. Por exemplo, se tivermos que escolher um elemento em um intervalo
de R, que nao pode ser ordenado em ordem crescente nem decrescente, podemos
usar o seguinte processo bem definido: se o intervalo tiver pontos extremos
reais, escolhemos o seu ponto medio; se um dos pontos extremos for + ou -
infinito e outro for um real r, escolhemos + = - 0,9 r, conforme r seja
positivo ou negativo; e se o intervalo for o proprio R, escolhemos 0.
Existem eh claro uma infinidade e outros processos bem definidos que evitam
o que se chama de escolha arbitraria (bom, pode aperecer alguem que diga que
se usou o axioma da escolha porque se escolheu arbitrariamente um processo
no conjunto infinito de processos.....)

> Por exemplo, quando lidamos com algum          > subconjunto A de N o
axioma da escolha          > nao eh necessario pois podemos sempre escolher
> o menor elemento de A, digamos a1, que existe   > por causa do principio
da boa ordenacao, o qual > eh independente  do axioma da escolha (acho eu!).

Eu acho que eh independente sim.

> Em seguida do axioma da escolha (acho eu!). Em > seguida do axioma da
escolha (acho eu!). Em    > seguida, escolhemos o menor elemento de A -
{a1}, etc.

Tem uma ilustracao famosa do axioma da escolha, devida a Betrand Russel, se
nao me engano, que diz o seguinte: o axioma da escolha eh necessario para se
escolher uma meia de um conjunto infinito de pares de meias, mas nao para se
escolher um sapato de um conjunto infinito de pares de sapato.

Eh do Bertrand Russel sim.

Um ponto que sempre me intrigou e que quem nao aceita o Axioma da escolha
nao pode aceitar praticamente nenhuma das provas referentes a espacos
metricos ou topologicos gerais. Por exemplo, quase todas a sprovas sobra
compaticidade em espacos metricos ou mesmo topologicos gerais beaseiam em
escolhas infinitas e arbitraris, de elementos, coberturas, etc.
Artur

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