[obm-l] Re: [obm-l] + 2 prob. de �lg. linear

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Acho que estas provas estao perfeitas, so tenho um ponto. O termo dimensao
enumeravel eh um tanto improprio, nao eh? Dimensao, neste caso, eh um
elemento do sistema dos reais expandidos, pelo que entendo. O que se quis
provar eh que, com um conjunto enumeravel de reais, nao eh possivel
representar todo numero real como uma combinacao linear dos elementos deste
conjunto nas quais  os coeficientes sejam racionais.
Artur



--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] + 2 prob. de �lg. linear
Data: 07/01/05 12:34

on 07.01.05 10:07, Lista OBM at obm_lista@yahoo.com.br wrote:


ol� gente, tem mais dois problemas q naum estou conseguindo resolver, e
gostaria de uma ajudinha do pessoal da lista:

1) Mostrar que a dimens�o do espa�o vetorial R (corpo do reais) sobra Q
(corpo do racionais) n�o � enumer�vel.

Suponhamos que a dimensao de R sobre Q seja enumeravel.
Entao, existe um conjunto enumeravel B de reais (uma base de R sobre Q) tal
que todo real pode ser expresso como uma combinacao linear racional de um
numero finito de elementos de B.
Por sua vez, isso implica na existencia de uma sobrejecao do conjunto dos
subconjuntos finitos de Q sobre R, o que eh uma contradicao, pois o conjunto
dos subconjuntos finitos de Q eh enumeravel.

2) Sejam V um K-espa�o vetorial de dimens�o INFINITA e B = {v_L ; L pertence
a uma fam�lia qualquer de �ndices} uma base infinita para V. Seja {w_L ; L
pertence a mesma fam�lia de �ndices do conj. B} um subconjunto de W, onde W
� um K-espa�o vetorial. Mostre que existe uma �nica transforma��o linear T:
V --> W tal que T(v_L) = w_L, p/ todo L.

A demonstracao eh exatamente identica ao do caso em que a dimensao eh
finita. Consulte qualquer livro de algebra linear (se o livro nao tiver essa
demonstracao, jogue-o fora e arranje outro).
A unica coisa a ter em mente eh que uma combinacao linear eh sempre uma soma
finita, mesmo que a base seja infinita.

[]s,
Claudio.

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