Re: [obm-l] =?utf-8?Q?=E2ngulo?= irracional

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Oct 20, 2004 at 09:08:07AM -0700, Felipe Torres wrote:
> como eu posso provar que os �ngulos formados pelos
> catetos com a hipotenusa do tri�ngulo ret�ngulo de
> lados 3,4,5 s�o irracionais quando expressos em graus?

Considere z = (3+4i)/5. Voc� quer provar que z^n nunca � igual a 1.
Escreva z^n = (a(n) + b(n) i)/5^n, de modo que
a(1) = 3, b(1) = 4, a(n+1) = 3a(n) - 4b(n), b(n+1) = 4a(n) + 3b(n).
Por exemplo, a(2) = -7, b(2) = 24, a(3) = -117, b(3) = 44.
� f�cil provar por indu�?o que a(n) = 3 (mod 5) e b(n) = 4 (mod 5)
para todo n positivo.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================