A meu ver, de duas uma:
OU
1) Você está partindo do conjunto dos naturais usuais, {1,2,3,...}, definidos através dos axiomas usuais (inclusive a função sucessor usual s) e define uma função f: N -> N dada por:
f(1) = s(s(1)) e f(s(n)) = s(s(f(n))),
de forma que:
f(1) = s(2) = 3,
f(2) = s(s(f(1))) = s(s(3)) = s(4) = 5,
f(3) = s(s(f(2))) = s(s(5)) = s(6) = 7,
etc...
OU
2) Você está simplesmente definindo 3 = s(1), 5 = s(3), ...
No caso (1), a função f não é uma função sucessor pois não obedece ao axioma de Peano que diz que o único natural que não é sucessor de ninguém é o 1, ou seja, que uma função sucessor s deve obedecer a N - s(N) = {1}.
No caso (2), você está simplesmente renomeando os naturais, ou seja, ao invés de: 1, 2, 3, 4, 5, ...
eles serão chamados de:
1, 3, 5, 7, 9, ...
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
"OBM-L" obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 20 Oct 2004 16:22:59 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Princípio da Indução |
> Pessoal,
>
> Eu estava lendo o artigo "o princípio da indução" do Elon publicado na Eureka
> (http://www.obm.org.br/eureka/artigos/inducao.pdf) e fique com uma
> pequena dúvida..
>
> O texto abaixo foi retirado das páginas 2 e 3..(com alguns pequenos
> ajustes..para não
> ficar muito grande a msg)
>
> [ N = conjunto dos números naturais ; s(x) = sucessor de x ]
>
> AXIOMA DA INDUÇÃO
> Se um subconjunto X contido em N é tal que 1 pertence a X e s(X) está contido X
> (isto é, n pertence a X => s(n) pertence a X), então X = N
>
> Dada a função s, s: N -> N tal que s(n) = n + 2. Então se tomarmos
> repetidamente a operação de tomar o "sucessor" obteremos s(1)=3,
> s(3)=5, etc.
>
> 1 -> 3 -> 5 -> ... (*)
>
> Dentro de um ponto de vista estritamente matemático, podemos
> reformular o axioma da indução do seguinte modo: Um subconjunto X
> contido em N chama-se indutivo quando s(X) está contido em X, ou seja,
> quando n pertence a X => s(n) pertence a X, ou ainda, quando o
> sucessor de qualquer elemento de X também pertence a X.
>
> (I) Dito isto, o axioma da indução afirma que o único subconjunto
> indutivo de N que contém o número 1 é o proprio N.
>
> (II) No exemplo acima (*), os números ímpares 1, 3, 5, ... formam um
> conjunto indutivo que contém o elemento 1 mas não é igual a N.
>
> As afirmações (I) e (II) não são contraditórias?? Ou eu não estou
> conseguindo entender o texto...???
>
> []s
> Daniel.
>
> --
> "Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do Universo é que ele
> parece fundamentar-se na Matemática num grau totalmente
> extraordinário. Quanto mais profundamente entramos nas leis da
> Natureza, mais parece que o mundo físico quase se evapora e ficamos
> com a Matemática. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza,
> mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemática e de
> conceitos matemáticos." (Roger Penrose)
>
> =========================================================================
> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>