Re: [obm-l] o valor de x

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at fabio@dias.moreira.nom.br wrote:

> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x.
> 
> Primeira solução:
> 
> Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega
> Ralph, a mais bonita e natural de todas.
> 
> Abra tudo:
> 
> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x =>
> 5 - sqrt(5 - x) = x^2 =>
> sqrt(5 - x) = 5 - x^2 =>
> 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 =>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0.
> 
> Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação
> do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse
> algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio...
> 
> Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x)
> = x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5
> divida o polinômio em que chegamos. E, de fato,
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é trivial.
>
Tai uma coisa (dentre varias) que eu aprendi aqui na lista:
Esse metodo eh geral e aplicavel a qualquer equacao da forma F(F(x)) = x.

Uma condicao suficiente para que x = a seja uma raiz de F(F(x)) = x eh que
F(a) = a, pois nesse caso, F(F(a)) = F(a) = a.
Presume-se que F(x) = x seja uma equacao mais facil de se resolver.

No caso presente, F(x) = raiz(5 - x) e o metodo funciona muito bem.

Por outro lado, a condicao F(a) = a nao eh necessaria para que a seja uma
raiz de F(F(x)) = x. Por exemplo, tome F(x) = 1 - x^2.
Entao, F(F(x)) = x ==>
1 - (1 - x^2)^2 = x ==>
x^4 - 2x^2 + x = 0 ==>
raizes: 0, 1, (-1-raiz(5))/2, (-1+raiz(5))/2

Claramente, 0 e 1 nao sao raizes de F(x) = x <==> x^2 + x - 1 = 0.

Outro exemplo, mais simples e mais extremo: F(x) = -x.
Qualquer numero real ou complexo satisfaz a F(F(x)) = x.
Por outro lado, a unica raiz de F(x) = x eh x = 0 (a menos que estejamos
trabalhando em Z_2, mas dai jah eh apelar um pouco).
 
[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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