Re: [obm-l] o valor de x

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

biper said:
> Hoje recebi esta questão do meu colega, no iício pensei
> que fosse fácil, mas acabei me complicando, aí vai:
>
> Calcule o valor de x para:
>
>   [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x
>
>
> Eu desnenvolvendo caiu num sistema, será que é por aí
> mesmo?
> [...]

Bom, eu não sei de qual sistema você está falando, mas existem várias
soluções para este problema (eu suponho que você quis diser sqrt(5 -
sqrt(5 - x)) = x).

Primeira solução:

Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega
Ralph, a mais bonita e natural de todas.

Abra tudo:

sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x =>
5 - sqrt(5 - x) = x^2 =>
sqrt(5 - x) = 5 - x^2 =>
5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 =>
x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0.

Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação
do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse
algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio...

Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x)
= x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5
divida o polinômio em que chegamos. E, de fato,

x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é trivial.

Segunda solução:

Se você não vir esse fator, também é possível resolver o problema. É fácil
ver que o polinômio não tem raízes raacionais. Se ele puder ser fatorado,
ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polinômios de segundo
grau, i.e.

x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).

Abrindo o lado direito,

x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd

Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que

(1) a + c = 0
(2) b + d + ac = -10
(3) ad + bc = 1
(4) bd = 20

De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a
= d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poderíamos quebrar em casos, mas note
que os dois casos são extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores
do polinômio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de
generalidade, a = d - b = 1.

Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que
d = -4 e b = -5, o que é consistente com (4). Logo

x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4).

Terceira solução:

Novamente, abra tudo, mas faça, inicialmente, a substituição 5 = a. Nossa
equação torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porquê dessa substituição
ficará claro daqui a pouco). Abra tudo:

x^2 = a - sqrt(a - x) =>
a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 =>
x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 => (rearrumando os termos)
a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0.

Isso é uma equação de segundo grau em a. Seu discriminante é 1 + 4x^2 +
4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 -
2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x.

Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0.

Quarta solução:

Seja y = sqrt(5 - x). Então sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 - x.

Subtraindo as duas equações, x^2 - y^2 = x - y <=> (x - y)(x + y - 1) = 0.
Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x => x^2 + x - 5 = 0
ou sqrt(5 - x) = 1 - x => x^2 - x - 4 = 0.

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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