[obm-l] o valor de x - continuacao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Em todas as solucoes que o Fabio apresentou, aparecem as equacoes:
x^2 + x - 5 = 0
e
x^2 - x - 4 = 0

As raizes da primeira sao: (-1+raiz(21))/2  e  (-1-raiz(21))/2
As da segunda sao: (1+raiz(17))/2  e  (1-raiz(17))/2

Examinando a equacao original: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x,
observamos que x e 5 - x precisam ser nao-negativos.
Ou seja, temos que ter 0 <= x <= 5.

Isso elimina as raizes (-1-raiz(21))/2 e (1-raiz(17))/2.

No entanto, verificamos que apenas (-1+raiz(21))/2 satisfaz a equacao
original.

O problema que eu proponho eh:
Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original.

[]s,
Claudio.

on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at fabio@dias.moreira.nom.br wrote:

> 
> biper said:
>> Hoje recebi esta questão do meu colega, no iício pensei
>> que fosse fácil, mas acabei me complicando, aí vai:
>> 
>> Calcule o valor de x para:
>> 
>> [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x
>> 
>> 
>> Eu desnenvolvendo caiu num sistema, será que é por aí
>> mesmo?
>> [...]
> 
> Bom, eu não sei de qual sistema você está falando, mas existem várias
> soluções para este problema (eu suponho que você quis diser sqrt(5 -
> sqrt(5 - x)) = x).
> 
> Primeira solução:
> 
> Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega
> Ralph, a mais bonita e natural de todas.
> 
> Abra tudo:
> 
> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x =>
> 5 - sqrt(5 - x) = x^2 =>
> sqrt(5 - x) = 5 - x^2 =>
> 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 =>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0.
> 
> Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação
> do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse
> algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio...
> 
> Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x)
> = x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5
> divida o polinômio em que chegamos. E, de fato,
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é trivial.
> 
> Segunda solução:
> 
> Se você não vir esse fator, também é possível resolver o problema. É fácil
> ver que o polinômio não tem raízes raacionais. Se ele puder ser fatorado,
> ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polinômios de segundo
> grau, i.e.
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).
> 
> Abrindo o lado direito,
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd
> 
> Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que
> 
> (1) a + c = 0
> (2) b + d + ac = -10
> (3) ad + bc = 1
> (4) bd = 20
> 
> De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a
> = d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poderíamos quebrar em casos, mas note
> que os dois casos são extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores
> do polinômio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de
> generalidade, a = d - b = 1.
> 
> Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que
> d = -4 e b = -5, o que é consistente com (4). Logo
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4).
> 
> Terceira solução:
> 
> Novamente, abra tudo, mas faça, inicialmente, a substituição 5 = a. Nossa
> equação torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porquê dessa substituição
> ficará claro daqui a pouco). Abra tudo:
> 
> x^2 = a - sqrt(a - x) =>
> a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 =>
> x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 => (rearrumando os termos)
> a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0.
> 
> Isso é uma equação de segundo grau em a. Seu discriminante é 1 + 4x^2 +
> 4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 -
> 2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x.
> 
> Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0.
> 
> Quarta solução:
> 
> Seja y = sqrt(5 - x). Então sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 - x.
> 
> Subtraindo as duas equações, x^2 - y^2 = x - y <=> (x - y)(x + y - 1) = 0.
> Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x => x^2 + x - 5 = 0
> ou sqrt(5 - x) = 1 - x => x^2 - x - 4 = 0.
> 
> []s,


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================