RE: [obm-l] o valor de x - continuacao

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá Claudio,

	Originalmente, eu resolvi esta questão usando a mesma idéia
apresentada como quarta solução pelo Fabio, porém eu analisei as condições
que devem ser satisfeitas em cada passo para possibilitar as transformações
no campo dos reais. Deste modo, eu consigo analisar a validade das soluções
encontradas. É importante ressaltar que na resolução de uma equação
irracional no campo dos reais, a análise da condição de existência é tão
importante quanto o fato de encontrar uma equação polinomial "equivalente".
Pois, esta equivalência quase sempre é parcial, ou seja, geralmente apenas
algumas raízes são compartilhadas.

PROBLEMA:

Resolva no campo dos reais s seguinte equação: sqr(5 - sqr(5 - x)) = x.


RESOLUÇÃO POSSÍVEL PARA O PROBLEMA:

Fazendo y = sqr(5 - x) (i), teremos:
x = sqr(5 - y) (ii)

Seguem as condições que permitem a equivalência das igualdades (i) e (ii)
mesmo após elevar ambos os membros ao quadrado.
Igualdade (i): y >= 0 e 5 - x >= 0 <=> x <= 5 (iii)
Igualdade (ii): x >= 0 e 5 - y >= 0 <=> y <= 5 (iv)

Das condições (iii) e (iv), chegamos a uma condição geral:
0 <= x <= 5 e 0 <= y <= 5 (v).

Se for satisfeita a condição geral (v), poderemos elevar ambos os membros
das igualdades (i) e (ii), ou seja:
y^2 = 5 - x <=> y^2 + x = 5 (vi)
x^2 = 5 - y <=> x^2 + y = 5 (vii)

Aplicando a propriedade transitiva da igualdade em (vi) e (vii), teremos:
y^2 + x = x^2 + y <=> y^2 - x^2 - y + x = 0 <=> (y - x)(y + x) - (y - x) = 0
<=> (y - x)(y - x - 1) = 0 <=> y = x (viii) ou y = 1 - x (ix)

Substituindo a (viii) na (vii), teremos:
x^2 = 5 - x <=> x^2 + x - 5 = 0 <=> x = [-1 +/- sqr(21)]/2
Verificando se as soluções satisfazem a condição geral (v):
x = [-1 - sqr(21)]/2 (Não satisfaz, pois x < 0)
x = [-1 + sqr(21)]/2 (Satisfaz, pois 0 <= x <= 5. Observe que 0 <= y <= 5
uma vez que pela igualdade (viii) y = x.)

Substituindo a (ix) na (vii), teremos:
x^2 = 5 - (1 - x) <=> x^2 - x - 4 = 0 <=> x = [1 +/- sqr(17)]/2
Verificando se as soluções satisfazem a condição geral (v):
x = [1 - sqr(17)]/2 (Não satisfaz, pois x < 0)
x = [1 + sqr(17)]/2 (Não satisfaz, pois apesar de satisfazer a primeira
parte da condição geral 0 <= x <= 5 não satisfaz a segunda, pois pela
igualdade (ix) y = 1 - x => y = 1 - [1 + sqr(17)]/2 => y = [1 - sqr(17)]/2,
ou seja, y < 0.)

Resposta:
x = [-1 + sqr(21)]/2
Conjunto solução no campo dos reais: S = {[-1 + sqr(21)]/2}


Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Claudio Buffara
Sent: quinta-feira, 3 de junho de 2004 22:34
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] o valor de x - continuacao

Em todas as solucoes que o Fabio apresentou, aparecem as equacoes:
x^2 + x - 5 = 0
e
x^2 - x - 4 = 0

As raizes da primeira sao: (-1+raiz(21))/2  e  (-1-raiz(21))/2
As da segunda sao: (1+raiz(17))/2  e  (1-raiz(17))/2

Examinando a equacao original: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x,
observamos que x e 5 - x precisam ser nao-negativos.
Ou seja, temos que ter 0 <= x <= 5.

Isso elimina as raizes (-1-raiz(21))/2 e (1-raiz(17))/2.

No entanto, verificamos que apenas (-1+raiz(21))/2 satisfaz a equacao
original.

O problema que eu proponho eh:
Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original.

[]s,
Claudio.

on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at fabio@dias.moreira.nom.br wrote:

> 
> biper said:
>> Hoje recebi esta questão do meu colega, no iício pensei
>> que fosse fácil, mas acabei me complicando, aí vai:
>> 
>> Calcule o valor de x para:
>> 
>> [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x
>> 
>> 
>> Eu desnenvolvendo caiu num sistema, será que é por aí
>> mesmo?
>> [...]
> 
> Bom, eu não sei de qual sistema você está falando, mas existem várias
> soluções para este problema (eu suponho que você quis diser sqrt(5 -
> sqrt(5 - x)) = x).
> 
> Primeira solução:
> 
> Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega
> Ralph, a mais bonita e natural de todas.
> 
> Abra tudo:
> 
> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x =>
> 5 - sqrt(5 - x) = x^2 =>
> sqrt(5 - x) = 5 - x^2 =>
> 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 =>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0.
> 
> Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação
> do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse
> algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio...
> 
> Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x)
> = x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5
> divida o polinômio em que chegamos. E, de fato,
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é
trivial.
> 
> Segunda solução:
> 
> Se você não vir esse fator, também é possível resolver o problema. É fácil
> ver que o polinômio não tem raízes raacionais. Se ele puder ser fatorado,
> ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polinômios de segundo
> grau, i.e.
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).
> 
> Abrindo o lado direito,
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd
> 
> Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que
> 
> (1) a + c = 0
> (2) b + d + ac = -10
> (3) ad + bc = 1
> (4) bd = 20
> 
> De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a
> = d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poderíamos quebrar em casos, mas note
> que os dois casos são extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores
> do polinômio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de
> generalidade, a = d - b = 1.
> 
> Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que
> d = -4 e b = -5, o que é consistente com (4). Logo
> 
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4).
> 
> Terceira solução:
> 
> Novamente, abra tudo, mas faça, inicialmente, a substituição 5 = a. Nossa
> equação torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porquê dessa substituição
> ficará claro daqui a pouco). Abra tudo:
> 
> x^2 = a - sqrt(a - x) =>
> a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 =>
> x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 => (rearrumando os termos)
> a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0.
> 
> Isso é uma equação de segundo grau em a. Seu discriminante é 1 + 4x^2 +
> 4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 -
> 2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x.
> 
> Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0.
> 
> Quarta solução:
> 
> Seja y = sqrt(5 - x). Então sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 -
x.
> 
> Subtraindo as duas equações, x^2 - y^2 = x - y <=> (x - y)(x + y - 1) = 0.
> Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x => x^2 + x - 5 = 0
> ou sqrt(5 - x) = 1 - x => x^2 - x - 4 = 0.
> 
> []s,


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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