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Bom Rafael, eu tentei por esse
caminho.
Esteja com lapis e papel para anotar direitinho
hehehe eh meio grande.
Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a,
B=2b e C=2c, onde 2a>2b>2c, logo o maior lado é o lado BC.
Agora tome I como incentro de ABC, M o pé da
bissetriz relativa a BC, N o pé da bissetriz relativa a AC e P o pé da bissetriz
relativa a AB.
Olhando para o triângulo AIB, como a>b podemos
afirmar que BI>AI
Olhando para o triângulo AIC, como a>c podemos
afirmar que CI>AI
Agora, se conseguirmos provar que IM<IN e
IM<IP, terminamos nossa demonstração.
traçando os raios do círculo inscrito, formamos 3
triangulos retângulos com I e os pés das bissetrizes.
analisando esses triangulos, podemos dizer, pela
propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o ângulo N vale
b+2c.
como
a+2c > b+2c,
então MI<NI (as hipotenusas são inversamente
proporcionais aos ângulos, facilmente demonstrado pela relação de
seno)
Logo, ja sabemos que AM<BN.
tome o ângulo BPC, ele vale 2a+c.
tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos
obtidos por ângulo externo)
Como BPC>AMC, o ângulo P do triângulo retângulo
é menor do que o ângulo M, do outro triângulo retângulo.
Logo IP>MI
então, CP>AM
Creio que está provado que AM (bissetriz relativa
ao maior lado) é menos do que BN e CP.
O que vocês acham (aqueles que tiveram paciencia de
ler ate o fim eheh)
PS: com um desenho seria bem mais simples
explicar.
Abraços do Rossi
----- Original Message -----
Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41
AM
Subject: Re: [obm-l] A menor bissetriz e
o maior lado de um triângulo
Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma
olhada... rafsanco <rafsanco@bol.com.br> wrote:
Olá
para todos !
Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana
que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo
corresponde a
menor bissetriz. Tentei prová-lo da
seguinte forma (infelizmente não
disponho de recursos
visuais, então usem a imaginação ou esboçem o
desenho
num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja
ABC um
triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu
incentro, x a medida do
angulo interno de vértice A, y
a medida do ângulo interno de vértice B,
z a medida do
ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a
bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x > y
e x >
z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior
lado). Analisando o
triângulo AIC, vê-se que x/2 > z/2,
logo CI > AI. Observando o
triângulo AIB é verdadeiro
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI >!
AI. Ora IM, IN e
IO são segmentos de reta congruentes, visto que são
raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO >
AI + IM o
que implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI +
IM = AM), assim como CI
+ IN > AI + IM o que implica
que CN > AM (CI + IN = CN e AI + IM =
AM). Enfim, está
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A minha
demonstração é válida ou há algo nela que a compromete
(sei lá,
algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês
conhecem alguma outra
maneira de se provar esse
teorema ? Se sim, exponha-a por
favor.
Abraços,
Rafael.
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