Re: [obm-l] Re:_[obm-l]__A_menor_bissetriz_e_o_maior_lado_de_um

Lembre-se de que geometria nao depende de desenho!

Fellipe Rossi <felliperossi@superig.com.br> wrote:

Bom Rafael, eu tentei por esse caminho.

Esteja com lapis e papel para anotar direitinho hehehe eh meio grande.

Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a, B=2b e C=2c, onde 2a>2b>2c, logo o maior lado é o lado BC.

Agora tome I como incentro de ABC, M o pé da bissetriz relativa a BC, N o pé da bissetriz relativa a AC e P o pé da bissetriz relativa a AB.

Olhando para o triângulo AIB, como a>b podemos afirmar que BI>AI

Olhando para o triângulo AIC, como a>c podemos afirmar que CI>AI

Agora, se conseguirmos provar que IM<IN e IM<IP, terminamos nossa demonstração.

traçando os raios do círculo inscrito, formamos 3 triangulos retângulos com I e os pés das bissetrizes.

analisando esses triangulos, podemos dizer, pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o ângulo N vale b+2c.

como

a+2c > b+2c,

então MI<NI (as hipotenusas são inversamente proporcionais aos ângulos, facilmente demonstrado pela relação de seno)

Logo, ja sabemos que AM<BN.

tome o ângulo BPC, ele vale 2a+c.

tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos obtidos por ângulo externo)

Como BPC>AMC, o ângulo P do triângulo retângulo é menor do que o ângulo M, do outro triângulo retângulo.

Logo IP>MI

então, CP>AM

Creio que está provado que AM (bissetriz relativa ao maior lado) é menos do que BN e CP.

O que vocês acham (aqueles que tiveram paciencia de ler ate o fim eheh)

PS: com um desenho seria bem mais simples explicar.

Abraços do Rossi

----- Original Message -----

From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41 AM

Subject: Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um triângulo

Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada...

rafsanco <rafsanco@bol.com.br> wrote:
Olá para todos !

Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana
que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo
corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da
seguinte forma (infelizmente não disponho de recursos
visuais, então usem a imaginação ou esboçem o desenho
num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja
ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I seu
incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y
a medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do
ângulo interno de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a
bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x > y
e x > z uma vez que x é oposto a BC (suposto maior
lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se que x/2 > z/2,
logo CI > AI. Observando o triângulo AIB é verdadeiro
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI >! AI. Ora IM, IN e
IO são segmentos de reta congruentes, visto que são
raios da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO >
AI + IM o que implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI +
IM = AM), assim como CI + IN > AI + IM o que implica
que CN > AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, está
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A minha
demonstração é válida ou há algo nela que a compromete
(sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês
conhecem alguma outra maneira de se provar esse
teorema ? Se sim, exponha-a por favor.

Abraços,

Rafael.

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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]__A_menor_bissetriz_e_o_maior_lado_de_um_triângulo