Bom Rafael, eu tentei por esse
caminho.
Esteja com lapis e papel para anotar direitinho
hehehe eh meio grande.
Seja ABC o triangulo, o angulo interno de A=2a,
B=2b e C=2c, onde 2a>2b>2c, logo o maior lado é o lado
BC.
Agora tome I como incentro de ABC, M o pé da
bissetriz relativa a BC, N o pé da bissetriz relativa a AC e P o pé da
bissetriz relativa a AB.
Olhando para o triângulo AIB, como a>b
podemos afirmar que BI>AI
Olhando para o triângulo AIC, como a>c
podemos afirmar que CI>AI
Agora, se conseguirmos provar que IM<IN e
IM<IP, terminamos nossa demonstração.
traçando os raios do círculo inscrito, formamos
3 triangulos retângulos com I e os pés das bissetrizes.
analisando esses triangulos, podemos dizer,
pela propriedade dos angulos extermos, que o angulo M vale a+2c e o ângulo N
vale b+2c.
como
a+2c > b+2c,
então MI<NI (as hipotenusas são inversamente
proporcionais aos ângulos, facilmente demonstrado pela relação de
seno)
Logo, ja sabemos que AM<BN.
tome o ângulo BPC, ele vale 2a+c.
tome o angulo AMC que vale a+2b (ambos
obtidos por ângulo externo)
Como BPC>AMC, o ângulo P do triângulo
retângulo é menor do que o ângulo M, do outro triângulo
retângulo.
Logo IP>MI
então, CP>AM
Creio que está provado que AM (bissetriz
relativa ao maior lado) é menos do que BN e CP.
O que vocês acham (aqueles que tiveram
paciencia de ler ate o fim eheh)
PS: com um desenho seria bem mais simples
explicar.
Abraços do Rossi
----- Original Message -----
Sent: Sunday, April 25, 2004 11:41
AM
Subject: Re: [obm-l] A menor
bissetriz e o maior lado de um triângulo
Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma
olhada...
rafsanco <rafsanco@bol.com.br>
wrote:
Olá
para todos !
Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana
plana
que dizia o seguinte: ao maior lado de um triângulo
corresponde a menor bissetriz. Tentei prová-lo da
seguinte forma
(infelizmente não disponho de recursos
visuais, então usem a
imaginação ou esboçem o desenho
num papel para compreenderem melhor
o que digo): Seja
ABC um triângulo qualquer, BC seu maior lado, I
seu
incentro, x a medida do angulo interno de vértice A, y
a
medida do ângulo interno de vértice B, z a medida do
ângulo interno
de vértice C, AM a bissetriz de x, BO a
bissetriz de y e CN a
bissetriz de z. Sabe-se que x > y
e x > z uma vez que x é
oposto a BC (suposto maior
lado). Analisando o triângulo AIC, vê-se
que x/2 > z/2,
logo CI > AI. Observando o triângulo AIB é
verdadeiro
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI >! ! AI. Ora IM,
IN e
IO são segmentos de reta congruentes, visto que são
raios
da circunferência inscrita a ABC, então BI + IO >
AI + IM o que
implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI +
IM = AM), assim como CI
+ IN > AI + IM o que implica
que CN > AM (CI + IN = CN e AI +
IM = AM). Enfim, está
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A
minha
demonstração é válida ou há algo nela que a compromete
(sei lá, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Vocês
conhecem
alguma outra maneira de se provar esse
teorema ? Se sim, exponha-a
por
favor.
Abraços,
Rafael.
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